Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _2}x + x\left( {x + y} \right) = {\log _2}\left( {6 - y}
Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _2}x + x\left( {x + y} \right) = {\log _2}\left( {6 - y} \right) + 6x.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = {x^3} + 3y\) là:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Xét hàm đặc trưng, chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên các khoảng xác định của chúng.
- Biểu diễn \(y\) theo \(x\) và thế vào biểu thức \(T\).
- Khảo sát lập BBT hàm số \(T\left( x \right)\) và kết luận.
ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\6 - y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y < 6\end{array} \right.\] .
Ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\log _2}x + x\left( {x + y} \right) = {\log _2}\left( {6 - y} \right) + 6x.\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + {x^2} + xy = {\log _2}\left( {6 - y} \right) + 6x\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + {x^2} = {\log _2}\left( {6 - y} \right) + 6x - xy\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + {x^2} = {\log _2}\left( {6 - y} \right) + x\left( {6 - y} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}x + {x^2} = {\log _2}\left( {6 - y} \right) + {\log _2}x + x\left( {6 - y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} + {x^2} = {\log _2}\left[ {x\left( {6 - y} \right)} \right] + x\left( {6 - y} \right)\end{array}\]
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\) \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó từ \(f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {x\left( {6 - y} \right)} \right) \Leftrightarrow {x^2} = x\left( {6 - y} \right) \Leftrightarrow x = 6 - y\) (Do \(x > 0\)) \( \Leftrightarrow y = 6 - x\).
Khi đó ta có \(T = {x^3} + 3y = {x^3} + 3\left( {6 - x} \right) = {x^3} - 3x + 18\) với \(x > 0\).
Ta có \(T' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
BBT:
Dựa vào BBT ta có \({T_{\min }} = T\left( 1 \right) = 16\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
