Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc \(\angle BAD = 60^\circ ,SA = SB = SD =

Câu hỏi số 413438:

Vận dụng

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc \(\angle BAD = 60^\circ ,SA = SB = SD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Giá trị \(\cos \alpha \) bằng:

A. \(\frac{1}{3}\)

B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

C. \(\frac{2}{3}\)

D. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413438

Phương pháp giải

- Xác định chiều cao của hình chóp.

- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

- Sử dụng công thức lượng giác để tính \(\cos \alpha \).

Giải chi tiết

Ta có ABCD là hình thoi\( \Rightarrow AB = AD\) mà \(\angle BAD = 60^\circ \Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác đều.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABD

\( \Rightarrow GA = GB = GD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) mà \(SA = SB = SD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SG \bot \left( {ABCD} \right)\)

Khi đó \(SG = \sqrt {S{A^2} - G{A^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{6}\)

Gọi GD giao với BC tại M.

Trong mặt phẳng \(\left( {SMD} \right)\) kẻ \(GH\parallel SD;H \in SM\)

Khi đó góc giữa SD và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là góc giữa HG và mặt phẳng

Ta tìm hình chiếu của G trên mặt phẳng \(\left( {SMC} \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}SG \bot BC\\GB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SGB} \right)\)

Kẻ \(GE \bot SB\) mà \(GE \bot BC \Rightarrow GE \bot \left( {SMC} \right)\)

Khi đó góc cần tìm là \({V_{SABC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \(\angle GHE\).

+) Tam giác SGB vuông tại G có đường cao GE và \(SG = \frac{{a\sqrt {15} }}{6};GB = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow GE = \frac{{a\sqrt {15} }}{9}\)

Mặt khác áp dụng định lí Viét ta có \(\frac{{HG}}{{SD}} = \frac{{MG}}{{MD}}\)

Mà \(\frac{{MG}}{{MD}} = \frac{{GC}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{HG}}{{SD}} = \frac{2}{3} \Rightarrow HG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Khi đó tam giác HGE vuông tại E có \(\sin EHG = \frac{{EG}}{{HG}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \cos EHG = \frac{2}{3}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.