Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có \(AB = 2\sqrt 3 \), \(AA' = 2\). Gọi M, N, P lần lượt là

Câu hỏi số 413451:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có \(AB = 2\sqrt 3 \), \(AA' = 2\). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A’B’, A’C’, BC. Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right);\,\,\left( {MNP} \right)\) bằng:

A. \(\frac{{6\sqrt {13} }}{{65}}\)

B. \(\frac{{\sqrt {13} }}{{65}}\)

C. \(\frac{{17\sqrt {13} }}{{65}}\)

D. \(\frac{{18\sqrt {13} }}{{65}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413451

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian.

Lấy điểm A’ làm gốc, suy ra các tọa độ điểm.

Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.

Giải chi tiết

Gọi \(A'\left( {0;0;0} \right)\).

Tam giác A’B’C’ đều cạnh bằng \(2\sqrt 3 \Rightarrow \)\(B'N = \frac{{\sqrt 3 }}{2}A'B' = 3\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{r}A\left( {0;0;2} \right)\\B'\left( {3;\sqrt 3 ;0} \right)\\C'\left( {0;2\sqrt 3 ;0} \right)\\N\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\\M\left( {\frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}B\left( {3;\sqrt 3 ;2} \right)\\C\left( {0;2\sqrt 3 ;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow P\left( {\frac{3}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2};2} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\\\overrightarrow {NP} = \left( {\frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_{MNP}}} = \left( {\sqrt 3 ;3; - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB'} = \left( {3;\sqrt 3 ; - 2} \right)\\\overrightarrow {AC'} = \left( {0;2\sqrt 3 ; - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB'C'}}} = \left( {2\sqrt 3 ;6;6\sqrt 3 } \right)\)

Vậy \(\cos \left( {\left( {MNP} \right);\left( {AB'C'} \right)} \right) = \frac{{\sqrt {13} }}{{65}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.