Xét \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện \(xyz = 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \log _2^3x + \log _2^3y + \dfrac{1}{4}\log _2^3z\) bằng:

Câu 415176: Xét \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện \(xyz = 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \log _2^3x + \log _2^3y + \dfrac{1}{4}\log _2^3z\) bằng:

A. \(\dfrac{1}{{32}}\)

B. \(\dfrac{1}{{16}}\)

C. \(\dfrac{1}{8}\)

D. \(\dfrac{1}{4}\)

Câu hỏi : 415176

Đáp án : B
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x = a\\{\log _2}y = b\\{\log _2}z = c\end{array} \right.\), khi đó ta có \(xyz = {2^a}{.2^b}{.2^c} = 1 \Leftrightarrow a + b + c = 1\).

Khi đó ta có: \(S = \log _2^3x + \log _2^3y + \dfrac{1}{4}\log _2^3z \Rightarrow S = {a^3} + {b^3} + \dfrac{1}{4}{c^3}\).

Ta có \(c = 1 - a - b\), thay vào \(S\) \( \Rightarrow S = {a^3} + {b^3} + \dfrac{1}{4}{\left( {1 - a - b} \right)^3}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}{a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge {\left( {a + b} \right)^3} - 3.\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\left( {a + b} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge {\left( {a + b} \right)^3} - \dfrac{3}{4}{\left( {a + b} \right)^3} = \dfrac{1}{4}{\left( {a + b} \right)^3}\end{array}\)

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}S \ge \dfrac{1}{4}{\left( {a + b} \right)^3} + \dfrac{1}{4}{\left( {1 - a - b} \right)^3}\\S \ge \dfrac{1}{4}\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^3} + {{\left( {1 - a - b} \right)}^3}} \right]\\S \ge \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}{\left( {a + b + 1 - a - b} \right)^3}\\S \ge \dfrac{1}{{16}}\end{array}\)

Vậy \({S_{\min }} = \dfrac{1}{{16}}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.