Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ có hai đường tròn đáy cùng nằm trên mặt cầu
Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ có hai đường tròn đáy cùng nằm trên mặt cầu bán kính bằng 3 cho trước.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Giả sử \(ABCD\) là một thiết diện qua trục của hình trụ, \(O\) là tâm mặt cầu và \(I,\,\,J\) là tâm hai mặt đáy của hình trụ. Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ \(\left( {0 < r < 3,\,\,0 < h < 6} \right)\).
- Sử dụng định lí Pytago, biểu diễn \({r^2}\) theo \(h\).
- Thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là: \(V = \pi {r^2}h\).
- Thế \({r^2}\) theo \(h\), đưa về dạng \(V = f\left( h \right)\). Tìm GTLN của \(V = f\left( h \right)\) trên \(\left( {0;6} \right)\).
Giả sử \(ABCD\) là một thiết diện qua trục của hình trụ, \(O\) là tâm mặt cầu và \(I,\,\,J\) là tâm hai mặt đáy của hình trụ.
Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ \(\left( {0 < r < 3,\,\,0 < h < 6} \right)\).
Ta có \(IA = r,\,\,IO = \dfrac{h}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông\(OAI\) ta có: \(O{I^2} + A{I^2} = O{A^2}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{{h^2}}}{4} + {r^2} = 9\) \( \Leftrightarrow {r^2} = 9 - \dfrac{{{h^2}}}{4}\).
Khi đó thể tích khối trụ là: \(V = \pi {r^2}h = \pi \left( {9 - \dfrac{{{h^2}}}{4}} \right).h = \pi \left( {9h - \dfrac{{{h^3}}}{4}} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( h \right) = 9h - \dfrac{{{h^3}}}{4}\) với \(0 < h < 6\) ta có: \(f'\left( h \right) = 9 - \dfrac{{3{h^2}}}{4} = 0 \Leftrightarrow h = 2\sqrt 3 \in \left( {0;6} \right)\).
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta suy ra \(\mathop {max}\limits_{\left( {0;6} \right)} f\left( h \right) = f\left( {2\sqrt 3 } \right) = 12\sqrt 3 \).
Vậy \({V_{\max }} = 12\sqrt 3 \pi \).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
