Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ có hai đường tròn đáy cùng nằm trên mặt cầu bán kính bằng 3 cho trước.

Câu 416829: Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ có hai đường tròn đáy cùng nằm trên mặt cầu bán kính bằng 3 cho trước.

A. \(18\sqrt 3 \pi \)

B. \(12\sqrt 3 \pi \)

C. \(24\sqrt 3 \pi \)

D. \(9\sqrt 3 \pi \)

Câu hỏi : 416829

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Giả sử \(ABCD\) là một thiết diện qua trục của hình trụ, \(O\) là tâm mặt cầu và \(I,\,\,J\) là tâm hai mặt đáy của hình trụ. Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ \(\left( {0 < r < 3,\,\,0 < h < 6} \right)\).

- Sử dụng định lí Pytago, biểu diễn \({r^2}\) theo \(h\).

- Thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là: \(V = \pi {r^2}h\).

- Thế \({r^2}\) theo \(h\), đưa về dạng \(V = f\left( h \right)\). Tìm GTLN của \(V = f\left( h \right)\) trên \(\left( {0;6} \right)\).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Giả sử \(ABCD\) là một thiết diện qua trục của hình trụ, \(O\) là tâm mặt cầu và \(I,\,\,J\) là tâm hai mặt đáy của hình trụ.

Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ \(\left( {0 < r < 3,\,\,0 < h < 6} \right)\).

Ta có \(IA = r,\,\,IO = \dfrac{h}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông\(OAI\) ta có: \(O{I^2} + A{I^2} = O{A^2}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{{h^2}}}{4} + {r^2} = 9\) \( \Leftrightarrow {r^2} = 9 - \dfrac{{{h^2}}}{4}\).

Khi đó thể tích khối trụ là: \(V = \pi {r^2}h = \pi \left( {9 - \dfrac{{{h^2}}}{4}} \right).h = \pi \left( {9h - \dfrac{{{h^3}}}{4}} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( h \right) = 9h - \dfrac{{{h^3}}}{4}\) với \(0 < h < 6\) ta có: \(f'\left( h \right) = 9 - \dfrac{{3{h^2}}}{4} = 0 \Leftrightarrow h = 2\sqrt 3 \in \left( {0;6} \right)\).

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta suy ra \(\mathop {max}\limits_{\left( {0;6} \right)} f\left( h \right) = f\left( {2\sqrt 3 } \right) = 12\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{\max }} = 12\sqrt 3 \pi \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.