Cho \(\int\limits_1^e {x\ln xdx} = a.{e^x} + b\), với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỷ. Khi đó \(a + b\)

Câu hỏi số 417458:

Thông hiểu

Cho \(\int\limits_1^e {x\ln xdx} = a.{e^x} + b\), với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỷ. Khi đó \(a + b\) bằng:

A. \(0\)

B. \(\dfrac{1}{3}\)

C. \(\dfrac{1}{2}\)

D. \( - \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:417458

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính tổng \(a + b\).

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^e {x\ln xdx} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{1}{x}dx} \\ = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^e {xdx} = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}.\left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^e\\ = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{1}{4}\left( {{e^2} - 1} \right) = \dfrac{1}{4}{e^2} + \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{4}{e^2} + \dfrac{1}{4} = a{e^2} + b\\ \Rightarrow a = \dfrac{1}{4},\,\,b = \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Vậy \(a + b = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.