Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài một cạnh là \(a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BB'\) sao \(BM = 2MB'\), \(K\) là trung điểm \(DD'\). Mặt phẳng \(\left( {CMK} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, tính theo \(a\) thể tích \({V_1}\) của khối đa diện chứa đỉnh \(C'\).

Câu 418127: Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài một cạnh là \(a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BB'\) sao \(BM = 2MB'\), \(K\) là trung điểm \(DD'\). Mặt phẳng \(\left( {CMK} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, tính theo \(a\) thể tích \({V_1}\) của khối đa diện chứa đỉnh \(C'\).


A. \({V_1} = \dfrac{{7{a^3}}}{{12}}\)

B. \({V_1} = \dfrac{{95{a^3}}}{{216}}\)

C. \({V_1} = \dfrac{{25{a^3}}}{{72}}\)

D. \({V_1} = \dfrac{{181{a^3}}}{{432}}\)

Câu hỏi : 418127
Phương pháp giải:

- Xác định thiết diện của hình lập phương cắt bởi \(\left( {CMK} \right)\).


- Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

  • Đáp án : D
    (1) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Trong \(\left( {BCC'B'} \right)\) kéo dài \(CM\) cắt \(B'C'\) tại \(E\), trong \(\left( {CDD'C'} \right)\) kéo dài \(CK\) cắt \(C'D'\) tại \(F\).

    Trong \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) nối \(EF\) cắt \(A'B',\,\,A'D'\) lần lượt tại \(G,\,\,H\).

    Khi đó thiết diện của khối lập phương cắt bởi \(\left( {CMK} \right)\) là ngũ giác \(CMGHK\) và \({V_1} = {V_{C.C'EF}} - {V_{M.B'EG}} - {V_{K.D'HF}}\)

    Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

    \(\dfrac{{EB'}}{{EC'}} = \dfrac{{B'M}}{{CC'}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow EB' = \dfrac{1}{3}EC' \Rightarrow EB' = \dfrac{1}{2}B'C' = \dfrac{a}{2}\).

    \(\dfrac{{FD'}}{{FC'}} = \dfrac{{D'K}}{{CC'}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow D'\) là trung điểm của \(C'F\) nên \(C'F = 2a,\,\,D'F = a\).

    \(\dfrac{{B'G}}{{C'F}} = \dfrac{{EB'}}{{EC'}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow B'G = \dfrac{1}{3}C'F = \dfrac{{2a}}{3}\) \( \Rightarrow A'G = A'B' - B'G = \dfrac{a}{3}\).

    Ta có \(\dfrac{{EB'}}{{EC'}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{B'C'}}{{EC'}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow EC' = \dfrac{{3a}}{2}\).

    \(\dfrac{{HD'}}{{EC'}} = \dfrac{{FD'}}{{FC'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow HD' = \dfrac{1}{2}EC' = \dfrac{{3a}}{4}\) \( \Rightarrow A'H = A'D' - HD' = \dfrac{a}{4}\).

    Khi đó ta có:

    \({S_{C'EF}} = \dfrac{1}{2}C'E.C'F = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{2}.2a = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\) \( \Rightarrow {V_{C.C'EF}} = \dfrac{1}{3}CC'.{S_{C'EE}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\).

    \({S_{B'EG}} = \dfrac{1}{2}B'E.B'G = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{{a^2}}}{6}\) \( \Rightarrow {V_{M.B'EG}} = \dfrac{1}{3}MB'.{S_{B'EG}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{{{a^2}}}{6} = \dfrac{{{a^3}}}{{54}}\).

    \({S_{D'HF}} = \dfrac{1}{2}D'H.D'F = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{4}.a = \dfrac{{3{a^2}}}{8}\)\( \Rightarrow {V_{K.D'HF}} = \dfrac{1}{3}.KD'.{S_{D'HF}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{3{a^2}}}{8} = \dfrac{{{a^3}}}{{16}}\).

    Vậy \({V_1} = {V_{C.C'EF}} - {V_{M.B'EG}} - {V_{K.D'HF}} = \dfrac{{{a^3}}}{2} - \dfrac{{{a^3}}}{{54}} - \dfrac{{{a^3}}}{{16}} = \dfrac{{181{a^3}}}{{432}}\).

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com