Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài một cạnh là \(a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc
Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài một cạnh là \(a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BB'\) sao \(BM = 2MB'\), \(K\) là trung điểm \(DD'\). Mặt phẳng \(\left( {CMK} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, tính theo \(a\) thể tích \({V_1}\) của khối đa diện chứa đỉnh \(C'\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Xác định thiết diện của hình lập phương cắt bởi \(\left( {CMK} \right)\).
- Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.
Trong \(\left( {BCC'B'} \right)\) kéo dài \(CM\) cắt \(B'C'\) tại \(E\), trong \(\left( {CDD'C'} \right)\) kéo dài \(CK\) cắt \(C'D'\) tại \(F\).
Trong \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) nối \(EF\) cắt \(A'B',\,\,A'D'\) lần lượt tại \(G,\,\,H\).
Khi đó thiết diện của khối lập phương cắt bởi \(\left( {CMK} \right)\) là ngũ giác \(CMGHK\) và \({V_1} = {V_{C.C'EF}} - {V_{M.B'EG}} - {V_{K.D'HF}}\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\dfrac{{EB'}}{{EC'}} = \dfrac{{B'M}}{{CC'}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow EB' = \dfrac{1}{3}EC' \Rightarrow EB' = \dfrac{1}{2}B'C' = \dfrac{a}{2}\).
\(\dfrac{{FD'}}{{FC'}} = \dfrac{{D'K}}{{CC'}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow D'\) là trung điểm của \(C'F\) nên \(C'F = 2a,\,\,D'F = a\).
\(\dfrac{{B'G}}{{C'F}} = \dfrac{{EB'}}{{EC'}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow B'G = \dfrac{1}{3}C'F = \dfrac{{2a}}{3}\) \( \Rightarrow A'G = A'B' - B'G = \dfrac{a}{3}\).
Ta có \(\dfrac{{EB'}}{{EC'}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{B'C'}}{{EC'}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow EC' = \dfrac{{3a}}{2}\).
\(\dfrac{{HD'}}{{EC'}} = \dfrac{{FD'}}{{FC'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow HD' = \dfrac{1}{2}EC' = \dfrac{{3a}}{4}\) \( \Rightarrow A'H = A'D' - HD' = \dfrac{a}{4}\).
Khi đó ta có:
\({S_{C'EF}} = \dfrac{1}{2}C'E.C'F = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{2}.2a = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\) \( \Rightarrow {V_{C.C'EF}} = \dfrac{1}{3}CC'.{S_{C'EE}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\).
\({S_{B'EG}} = \dfrac{1}{2}B'E.B'G = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{{a^2}}}{6}\) \( \Rightarrow {V_{M.B'EG}} = \dfrac{1}{3}MB'.{S_{B'EG}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{{{a^2}}}{6} = \dfrac{{{a^3}}}{{54}}\).
\({S_{D'HF}} = \dfrac{1}{2}D'H.D'F = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{4}.a = \dfrac{{3{a^2}}}{8}\)\( \Rightarrow {V_{K.D'HF}} = \dfrac{1}{3}.KD'.{S_{D'HF}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{3{a^2}}}{8} = \dfrac{{{a^3}}}{{16}}\).
Vậy \({V_1} = {V_{C.C'EF}} - {V_{M.B'EG}} - {V_{K.D'HF}} = \dfrac{{{a^3}}}{2} - \dfrac{{{a^3}}}{{54}} - \dfrac{{{a^3}}}{{16}} = \dfrac{{181{a^3}}}{{432}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
