Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài một cạnh là \(a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc
Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài một cạnh là \(a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BB'\) sao \(BM = 2MB'\), \(K\) là trung điểm \(DD'\). Mặt phẳng \(\left( {CMK} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, tính theo \(a\) thể tích \({V_1}\) của khối đa diện chứa đỉnh \(C'\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Xác định thiết diện của hình lập phương cắt bởi \(\left( {CMK} \right)\).
- Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.
Trong \(\left( {BCC'B'} \right)\) kéo dài \(CM\) cắt \(B'C'\) tại \(E\), trong \(\left( {CDD'C'} \right)\) kéo dài \(CK\) cắt \(C'D'\) tại \(F\).
Trong \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) nối \(EF\) cắt \(A'B',\,\,A'D'\) lần lượt tại \(G,\,\,H\).
Khi đó thiết diện của khối lập phương cắt bởi \(\left( {CMK} \right)\) là ngũ giác \(CMGHK\) và \({V_1} = {V_{C.C'EF}} - {V_{M.B'EG}} - {V_{K.D'HF}}\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\dfrac{{EB'}}{{EC'}} = \dfrac{{B'M}}{{CC'}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow EB' = \dfrac{1}{3}EC' \Rightarrow EB' = \dfrac{1}{2}B'C' = \dfrac{a}{2}\).
\(\dfrac{{FD'}}{{FC'}} = \dfrac{{D'K}}{{CC'}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow D'\) là trung điểm của \(C'F\) nên \(C'F = 2a,\,\,D'F = a\).
\(\dfrac{{B'G}}{{C'F}} = \dfrac{{EB'}}{{EC'}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow B'G = \dfrac{1}{3}C'F = \dfrac{{2a}}{3}\) \( \Rightarrow A'G = A'B' - B'G = \dfrac{a}{3}\).
Ta có \(\dfrac{{EB'}}{{EC'}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{B'C'}}{{EC'}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow EC' = \dfrac{{3a}}{2}\).
\(\dfrac{{HD'}}{{EC'}} = \dfrac{{FD'}}{{FC'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow HD' = \dfrac{1}{2}EC' = \dfrac{{3a}}{4}\) \( \Rightarrow A'H = A'D' - HD' = \dfrac{a}{4}\).
Khi đó ta có:
\({S_{C'EF}} = \dfrac{1}{2}C'E.C'F = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{2}.2a = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\) \( \Rightarrow {V_{C.C'EF}} = \dfrac{1}{3}CC'.{S_{C'EE}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\).
\({S_{B'EG}} = \dfrac{1}{2}B'E.B'G = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{{a^2}}}{6}\) \( \Rightarrow {V_{M.B'EG}} = \dfrac{1}{3}MB'.{S_{B'EG}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{{{a^2}}}{6} = \dfrac{{{a^3}}}{{54}}\).
\({S_{D'HF}} = \dfrac{1}{2}D'H.D'F = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{4}.a = \dfrac{{3{a^2}}}{8}\)\( \Rightarrow {V_{K.D'HF}} = \dfrac{1}{3}.KD'.{S_{D'HF}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{3{a^2}}}{8} = \dfrac{{{a^3}}}{{16}}\).
Vậy \({V_1} = {V_{C.C'EF}} - {V_{M.B'EG}} - {V_{K.D'HF}} = \dfrac{{{a^3}}}{2} - \dfrac{{{a^3}}}{{54}} - \dfrac{{{a^3}}}{{16}} = \dfrac{{181{a^3}}}{{432}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
