Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\), điểm \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\) và
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\), điểm \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\) và \(I\) là tâm hình vuông \(CDD'C'\). Mặt phẳng \(\left( {AMI} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm \(D\) có thể tích là \(V\). Khi đó giá trị của \(V\) là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Xác định thiết diện của khối lập phương cắt bởi \(\left( {AMI} \right)\).
- Chứng minh \(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - {V_{CDAMNP}} = {a^3} - {V_1}\).
- Phân chia khối đa diện: \({V_1} = {V_{D.APE}} - {V_{C.MNE}}\).
- Sử dụng định lí Ta-lét, định lí Menelaus tính độ dài các cạnh, từ đó tính thể tích các khối tứ diên vuông \({V_{D.APE}};\,\,{V_{C.MNE}}\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kéo dài \(AM \cap CD = \left\{ E \right\}\). Trong \(\left( {CDD'C'} \right)\) kéo dài \(EI\) cắt \(CC',\,\,DD'\) lần lượt tại \(N,\,\,P\). Khi đó \(\left( {AMI} \right)\) cắt khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) theo thiết diện là tứ giác \(AMNP\) và thể tích khối đa diện không chứa điểm \(D\) là \(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - {V_{CDAMNP}} = {a^3} - {V_1}\).
Ta có \({V_1} = {V_{D.APE}} - {V_{C.MNE}}\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{MC}}{{AD}} = \dfrac{{EM}}{{EA}} = \dfrac{{EC}}{{ED}} = \dfrac{1}{2}\) nên \(M,\,\,C\) lần lượt là trung điểm của \(AE\) và \(DE\).
Khi đó ta có \(CE = CD = a,\,\,DE = 2CD = 2a\).
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(DD'E\) có: \(\dfrac{{PD}}{{PD'}}.\dfrac{{ID'}}{{IC}}.\dfrac{{EC}}{{ED}} = 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{PD}}{{PD'}}.1.\dfrac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{PD}}{{PD'}} = 2\).
\( \Rightarrow PD = \dfrac{2}{3}DD' = \dfrac{{2a}}{3}\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{NC}}{{PD}} = \dfrac{{EC}}{{ED}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow NC = \dfrac{1}{2}PD = \dfrac{a}{3}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{D.APE}} = \dfrac{1}{6}DP.DA.DE = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{2a}}{3}.a.2a = \dfrac{{2{a^3}}}{9}\\\,\,\,\,\,\,{V_{C.MNE}} = \dfrac{1}{6}.CN.CM.CE = \dfrac{1}{6}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{a}{2}.a = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}\end{array}\)
\( \Rightarrow {V_1} = {V_{D.APE}} - {V_{C.MNE}} = \dfrac{{2{a^3}}}{9} - \dfrac{{{a^3}}}{{36}} = \dfrac{{7{a^3}}}{{36}}\).
Vậy \(V = {a^3} - {V_1} = {a^3} - \dfrac{{7{a^3}}}{{36}} = \dfrac{{29{a^3}}}{{36}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
