Có bao nhiêu giá trị thực của \(x\) để đẳng thức sau thỏa mãn với mọi giác trị của

Câu hỏi số 418766:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị thực của \(x\) để đẳng thức sau thỏa mãn với mọi giác trị của \(a?\)

\({\log _2}\left( {{a^2}{x^3} - 5{a^2}{x^2} + \sqrt {6 - x} } \right) =\) \( {\log _{2 + {a^2}}}\left( {3 - \sqrt {x - 1} } \right)\)

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. mọi \(x\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:418766

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 6\\{a^2}{x^3} - 5{a^2}{x^2} + \sqrt {6 - x} > 0\end{array} \right..\)

Ta có: \({\log _2}\left( {{a^2}{x^3} - 5{a^2}{x^2} + \sqrt {6 - x} } \right) = {\log _{2 + {a^2}}}\left( {3 - \sqrt {x - 1} } \right)\,\,\,\,\left( * \right)\)

+) Vì \(\left( * \right)\) luôn đúng với mọi \(a\) \( \Rightarrow \left( * \right)\) cũng đúng khi \(a = 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {6 - x} = {\log _2}\left( {3 - \sqrt {x - 1} } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {6 - x} = 3 - \sqrt {x - 1} \\ \Leftrightarrow \sqrt {6 - x} + \sqrt {x - 1} = 3\\ \Leftrightarrow 6 - x + x - 1 + 2\sqrt {\left( {6 - x} \right)\left( {x - 1} \right)} = 9\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {6 - x} \right)\left( {x - 1} \right)} = 2\\ \Leftrightarrow \left( {6 - x} \right)\left( {x - 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 7x - 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(x = 5\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {125{a^2} - 125{a^2} + 1} \right) = {\log _{2 + {a^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}1 = {\log _{2 + {a^2}}} = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( * \right)\) luôn đúng khi \(x = 5.\)

+) Với \(x = 2\) ta có:

\(\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( { - 12{a^2} + 2} \right) = {\log _{2 + {a^2}}}2\)

\( \Rightarrow \left( * \right)\) không thỏa mãn với mọi \(a.\)

Vậy chỉ có \(x = 5\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.