Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{{{x^2} + 3}}{2}{\log _2}x = 1 - {\log
Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{{{x^2} + 3}}{2}{\log _2}x = 1 - {\log _2}\dfrac{y}{x} - {x^2}{\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt x \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4{x^3} + {y^3} - 4{\log _2}\left( {4{x^3} + {y^3}} \right)\) được viết dưới dạng \(a - b{\log _2}c\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) đều là các số thực thuộc khoảng \(\left( {2;\dfrac{{11}}{2}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \({a^2} + {b^2} - c\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2} + 3}}{2}{\log _2}x = 1 - {\log _2}\dfrac{y}{x} - {x^2}{\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt x \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 3}}{2}{\log _2}x = 1 - {\log _2}\dfrac{y}{x} + \dfrac{{{x^2}}}{2}{\log _2}x\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{\log _2}x = 1 - {\log _2}y + {\log _2}x\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _2}x = {\log _2}\dfrac{2}{y}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt x = {\log _2}\dfrac{2}{y}\\ \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{2}{y} \Leftrightarrow y = \dfrac{2}{{\sqrt x }}\\ \Leftrightarrow {y^3} = \dfrac{8}{{x\sqrt x }}\end{array}\)
Khi đó ta có \(P = 4{x^3} + \dfrac{8}{{x\sqrt x }} - 4{\log _2}\left( {4{x^3} + \dfrac{8}{{x\sqrt x }}} \right)\).
Đặt \(t = 4{x^3} + \dfrac{8}{{x\sqrt x }}\), ta có
\(\begin{array}{l}t'\left( x \right) = 12{x^2} - \dfrac{{8.\dfrac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^3}}} = 12{x^2} - \dfrac{{12\sqrt x }}{{{x^3}}}\\t'\left( x \right) = 12{x^5} - 12\sqrt x = 0 \Leftrightarrow {x^5} = \sqrt x \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x^{10}} = x \Leftrightarrow x\left( {{x^9} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Từ BBT ta suy ra \(t \ge 12\).
Ta có \(P = t - 4{\log _2}t\) với \(t \ge 12\). Ta có \(P' = 1 - \dfrac{4}{{t\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow t\ln 2 = 4 \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{{\ln 2}} = {t_0} \approx 5,77 \notin \left[ {12; + \infty } \right)\).
\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {12; + \infty } \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \min P = P\left( {12} \right) = 12 - 4{\log _2}12\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 12 - 4{\log _2}\left( {{2^2}.3} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 12 - 4\left( {2 + {{\log }_2}3} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4 - 4{\log _2}3\end{array}\)
\( \Rightarrow a = 4,\,\,b = - 4,\,\,c = 3\).
Vậy \({a^2} + {b^2} - c = {4^2} + {\left( { - 4} \right)^2} - 3 = 29\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
