Gọi \(\left( P \right),\,\,\left( d \right)\) lần lượt là đồ thị của các hàm số \(y = {x^2}\) và

Câu hỏi số 420112:

Vận dụng

Gọi \(\left( P \right),\,\,\left( d \right)\) lần lượt là đồ thị của các hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = 2mx + 3.\)

a) Chứng minh đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,\,B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) và tính \({y_1} + {y_2}\) theo \(m.\)

b) Tìm \(m\) sao cho \({y_1} - 4{y_2} = {x_1} - 4{x_2} + 3{x_1}{x_2}.\)

A. \(b)\,\, m = \dfrac{1}{3}\)

B. \(b)\,\, m = \dfrac{1}{2}\)

C. \(b)\,\, m = 1\)

D. \(b)\,\, m = \dfrac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420112

Phương pháp giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\) của hai đồ thị hàm số.

Phương trình \(\left( * \right)\) có \(\Delta ' > 0\,\,\forall m\) \( \Rightarrow \) \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,\,B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right).\)

Áp dụng hệ thức Vi-et để tính \({y_1} + {y_2}.\)

b) Áp dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức bài cho để tìm \(m.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,\,B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) và tính \({y_1} + {y_2}\) theo \(m.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta có:

\({x^2} = 2mx + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Phương trình \(\left( * \right)\) có \(\Delta ' = {m^2} + 3 > 0\,\,\,\forall m\) .

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

Hay với mọi \(m\) thì đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right).\)

Ta có \(A,\,\,B \in d\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = 2m{x_1} + 3\\{y_2} = 2m{x_2} + 3\end{array} \right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = - 3\end{array} \right..\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = 2m{x_1} + 3 + 2m{x_2} + 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2m.2m + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{m^2} + 6.\end{array}\)

Vậy \({y_1} + {y_2} = 4{m^2} + 6.\)

b) Tìm \(m\) sao cho \({y_1} - 4{y_2} = {x_1} - 4{x_2} + 3{x_1}{x_2}.\)

Với mọi \(m\) thì đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\,\,2m{x_1} + 3} \right)\) và \(B\left( {{x_2};\,\,2m{x_2} + 3} \right).\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có:

\({y_1} - 4{y_2} = {x_1} - 4{x_2} + 3{x_1}{x_2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2m{x_1} + 3 - 4\left( {2m{x_2} + 3} \right) = {x_1} - 4{x_2} + 3.\left( { - 3} \right)\\ \Leftrightarrow 2m{x_1} + 3 - 8m{x_2} - 12 = {x_1} - 4{x_2} - 9\\ \Leftrightarrow 2m{x_1} - {x_1} - 8m{x_2} + 4{x_2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right){x_1} - 4\left( {2m - 1} \right){x_2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right)\left( {{x_1} - 4{x_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m - 1 = 0\\{x_1} - 4{x_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{2}\\{x_1} = 4{x_2}\end{array} \right.\end{array}\)

Với \({x_1} = 4{x_2}\), thay vào (2) ta có: \(4x_2^2 = - 3\) \( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link