Bác An muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng nửa hình tròn, phía dưới có dạng
Bác An muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng nửa hình tròn, phía dưới có dạng hình chữ nhật. Biết rằng: đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và tổng độ dài các khuôn gỗ (các đường in đậm trong hình vẽ bên, bỏ qua độ rộng của khuôn gỗ) là \(8m.\) Em hãy giúp bác An tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật để của sổ có diện tích lớn nhất.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi đường kính của nửa hình tròn là \(x\,\,\left( m \right),\,\,\,\left( {0 < x < 8} \right).\)
Khi đó cạnh phía trên của hình chữ nhật là \(x\,\,\left( m \right).\)
Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là \(y\,\,\,\left( m \right),\,\,\left( {0 < y < 8} \right).\)
Độ dài của khuôn gỗ làm cửa = Độ dài nửa đường tròn + cạnh trên của cửa + 2 x cạnh bên của cửa.
Từ đó biểu diễn \(y\) theo \(x.\) Biểu thị biểu thức diện tích của cửa theo \(x\) rồi tìm \(x\) để tìm GTLN của diện tích.
Gọi đường kính của nửa hình tròn là \(x\,\,\left( m \right),\,\,\,\left( {0 < x < 8} \right).\)
\( \Rightarrow \) Bán kính của nửa đường tròn là: \(\dfrac{x}{2}\,\,\left( m \right).\)
Khi đó cạnh phía trên của hình chữ nhật là \(x\,\,\left( m \right).\)
Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là \(y\,\,\,\left( m \right),\,\,\left( {0 < y < 8} \right).\)
Độ dài nửa hình tròn phía trên là: \(\dfrac{1}{2}\pi .x = \dfrac{{\pi x}}{2}\,\,\left( m \right).\)
Khi đó ta có tổng độ dài các khuôn gỗ là:
\(\dfrac{{\pi x}}{2} + x + 2y = 8\) \( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{\pi }{2} + 1} \right)x + 2y = 8\)
\( \Leftrightarrow 2y = 8 - \left( {\dfrac{\pi }{2} + 1} \right)x\) \( \Leftrightarrow y = 4 - \left( {\dfrac{{\pi + 2}}{4}} \right)x\)
Diện tích của cửa sổ là: \(S = \dfrac{1}{2}\pi {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} + xy = \dfrac{{\pi {x^2}}}{8} + xy\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow S = \dfrac{{\pi {x^2}}}{8} + x\left[ {4 - \left( {\dfrac{{\pi + 2}}{4}} \right)x} \right]\\ \Leftrightarrow S = \dfrac{{\pi {x^2}}}{8} + 4x - \left( {\dfrac{{\pi + 2}}{4}} \right){x^2}\\ \Leftrightarrow S = - \left( {\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{2}} \right){x^2} + 4x\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{{\pi + 4}}{8}{x^2} + 4x\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{{\pi + 4}}{8}\left( {{x^2} - \dfrac{{32}}{{\pi + 4}}x} \right)\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{{\pi + 4}}{8}\left[ {{x^2} - 2x.\dfrac{{16}}{{\pi + 4}} + {{\left( {\dfrac{{16}}{{\pi + 4}}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{16}}{{\pi + 4}}} \right)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{{\pi + 4}}{8}{\left( {x - \dfrac{{16}}{{\pi + 4}}} \right)^2} + \dfrac{{32}}{{\pi + 4}} \le \dfrac{{32}}{{\pi + 4}}\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x - \dfrac{{16}}{{\pi + 4}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{16}}{{\pi + 4}}\,\,\left( {tm} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow y = 4 - \dfrac{{\pi + 2}}{4}.\dfrac{{16}}{{\pi + 4}} = \dfrac{{4\pi + 16 - 4\left( {\pi + 2} \right)}}{{\pi + 4}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4\pi + 16 - 4\pi - 8}}{{\pi + 4}} = \dfrac{8}{{\pi + 4}}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy khi cửa sổ có diện tích lớn nhất thì độ dài cạnh trên của hình chữ nhật là: \(\dfrac{{16}}{{\pi + 4}}\,\,m\) và cạnh bên của hình chữ nhật là: \(\dfrac{8}{{\pi + 4}}\,m.\)
Đáp án cần chọn là: B
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
