Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B\) là tiếp điểm) và đường kính \(BC\). Trên đoạn thẳng \(CO\) lấy điểm \(I\) (\(I\) khác \(C\) và \(O\)). Đường thẳng \(IA\) cắt \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(D\) và \(E\) (\(D\) nằm giữa \(A\) và \(E\)). Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DE\).
a) Chứng minh \(AB.BE = BD.AE\).
b) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(E\) song song với \(AO,\,\,d\) cắt \(BC\) tại điểm \(K\). Chứng minh \(HK\parallel CD\).
c) Tia \(CD\) cắt tại điểm \(P\), tia \(EO\) cắt \(BP\) tại điểm \(F\). Chứng minh tứ giác \(BECF\) là hình chữ nhật.
Quảng cáo
a) Chứng minh \(AB.BE = BD.AE\).
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEB\) có:
\(\angle A\,\,chung;\)
\(\angle ABD = \angle AEB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BD\))
\( \Rightarrow \Delta ABD\) đồng dạng \(\Delta AEB\,\,\,\left( {g.g} \right)\).
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{BD}}{{BE}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow AB.BE = BD.AE\,\,\left( {dpcm} \right)\).
b) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(E\) song song với \(AO,\,\,d\) cắt \(BC\) tại điểm \(K\). Chứng minh \(HK\parallel CD\).
Vì \(H\) là trung điểm của \(DE\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(OH \bot DE\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
\( \Rightarrow \angle OHD = {90^0} \Rightarrow \angle OHA = {90^0}\).
Xét tứ giác \(OBAH\) có: \(\angle OHA = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\); \(\angle OBA = {90^0}\) (do \(AB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)).
\( \Rightarrow \angle OHA + \angle OBA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
\( \Rightarrow OBAH\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle OAH = \angle OBH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OH\)).
Mà \(\angle OAH = \angle HEK\) (so le trong do \(d\parallel AO\)).
\( \Rightarrow \angle OBH = \angle HKE = \angle HBK\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BEKH\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle HKB = \angle HEB = \angle DEB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HB\)).
Mà \(\angle DEB = \angle DCB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\)).
\( \Rightarrow \angle HKB = \angle DCB\,\,\left( { = \angle DEB} \right)\).
Lại có hai góc này ở vị trí hai góc đồng vị bằng nhau.
Vậy \(HK\parallel CD\,\,\left( {dpcm} \right)\).
c) Tia \(CD\) cắt \(AO\) tại điểm \(P\), tia \(EO\) cắt \(BP\) tại điểm \(F\). Chứng minh tứ giác \(BECF\) là hình chữ nhật.
Kẻ tiếp tuyến \(AQ\) với đường tròn \(\left( O \right)\) \(\left( {Q \ne B} \right)\).
Xét tứ giác \(OBAQ\) có: \(\angle OBA + \angle OQA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) \( \Rightarrow OBAQ\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle OBQ = \angle OAQ = \angle PAQ\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OQ\)).
Lại có \(\angle OBQ = \angle CBQ = \angle CDQ\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CQ\))
\( \Rightarrow \angle PAQ = \angle CDQ\,\,\,\left( { = \angle OBQ} \right)\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(APDQ\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
\( \Rightarrow \angle ADP = \angle AQP\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AP\)).
Mà \(\angle ADP = \angle CDE\) (đối đỉnh), \(\angle CDE = \angle CBE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CE\)).
\( \Rightarrow \angle AQP = \angle CBE\) (1).
Xét \(\Delta ABP\) và \(\Delta AQP\) có:
\(AP\,\,chung;\)
\(\angle BAP = \angle QAP\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau);
\(AB = AQ\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \Delta ABP = \Delta AQP\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle ABP = \angle AQP\) (2) (2 góc tương ứng).
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle CBE = \angle ABP\) \(\left( { = \angle AQP} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle CBE + \angle CBF = \angle ABP + \angle CBF\\ \Rightarrow \angle EBF = \angle ABC = {90^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle EBF\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow EF\) là đường kính của \(\left( O \right)\).
\( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(EF\).
Xét tứ giác \(BECF\) có hai đường chéo \(BC,\,\,EF\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường \( \Rightarrow BECF\) là hình bình hành (dhnb).
Lại có \(\angle EBF = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(BECF\) là hình chữ nhật (dhnb) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
