Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\dfrac{{mx - 2\sqrt {x + 4} }}{{2x + 4}}} \right|\) với m là tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện \(0 < \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) < 1\)?

Câu 421331: Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\dfrac{{mx - 2\sqrt {x + 4} }}{{2x + 4}}} \right|\) với m là tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện \(0 < \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) < 1\)?

A. \(4\).

B. \(8\).

C. \(2\).

D. \(1\).

Câu hỏi : 421331

Quảng cáo

Đáp án : B
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(h\left( x \right) = \dfrac{{mx - 2\sqrt {x + 4} }}{{2x + 4}}\). Ta có: \(h\left( 0 \right) = \dfrac{{m.0 - 2\sqrt {0 + 4} }}{{2.0 + 4}} = - 1 < 0\), do đó:

Bài toán tương đương với \(h\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\) (1) và \(h\left( x \right) > - 1\) có nghiệm trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) (2)

*) Giải (1):

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{2\sqrt {x + 4} }}{x},\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right]\\m > \dfrac{{2\sqrt {x + 4} }}{x},\,\forall x \in \left[ { - 1;0} \right)\end{array} \right.\)

Do \(g\left( x \right) = \dfrac{{2\sqrt {x + 4} }}{x}\) có \(g'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{{\sqrt {x + 4} }}.x - 2\sqrt {x + 4} }}{{{x^2}}} = \dfrac{{ - x - 8}}{{\sqrt {x + 4} .{x^2}}} < 0,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\) nên suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}m < g\left( 1 \right)\\m > g\left( { - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2\sqrt 3 < m < 2\sqrt 5 \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2;...;4} \right\}\)

*) Giải (2):

Do \(h\left( 1 \right) = \dfrac{{m - 2\sqrt 5 }}{6},\,\,h\left( { - 1} \right) = \dfrac{{ - m - 2\sqrt 3 }}{{ - 2}}\) nên \(3h\left( 1 \right) + h\left( { - 1} \right) = - \sqrt 5 - \sqrt 3 > - 4\) nên có ít nhất một trong hai số \(h\left( 1 \right)\) , \(h\left( { - 1} \right)\) lớn hơn -1 \( \Rightarrow \) (2) luôn đúng.

Vậy, \(m \in \left\{ { - 3; - 2;...;4} \right\}\): 8 giá trị.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.