Xét các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {y - 1} \right) = 1\). Khi biểu thức \(P = 2x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(3x - 2y = a + b\sqrt 3 \) với \(a,b \in \mathbb{Q}\). Tính \(T = ab\).

Câu 421330: Xét các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {y - 1} \right) = 1\). Khi biểu thức \(P = 2x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(3x - 2y = a + b\sqrt 3 \) với \(a,b \in \mathbb{Q}\). Tính \(T = ab\).

A. \(T = 9\).

B. \(T = \dfrac{7}{3}\).

C. \(T = \dfrac{5}{3}\).

D. \(T = 7\).

Câu hỏi : 421330

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\,\,\left( {x,y > 0} \right)\).

- Phân tích và sử dụng BĐT Cô-si: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (\(a,\,\,b \ge 0\)).

- Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra, giải hệ phương trình tìm \(x,\,\,y\), từ đó đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tình \(T = ab\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\y - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\y > 1\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {y - 1} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = 2\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = 2x + 3y = 2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + 5\\\,\,\,\,\, \ge 2\sqrt {6\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)} + 5\\\,\,\,\,\,\, = 2.\sqrt {6.2} + 5 = 4\sqrt 3 + 5\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = 2\\2\left( {x - 1} \right) = 3\left( {y - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = 4\\2\left( {x - 1} \right) = 3\left( {y - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\\2\left( {x - 1} \right) = 3\left( {y - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {y - 1} \right)^2} = \dfrac{4}{3}\\2\left( {x - 1} \right) = 3\left( {y - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 \\y = 1 + \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(P = 2x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4\sqrt 3 + 5\) khi và chỉ khi:

\(3x - 2y = 3\left( {1 + \sqrt 3 } \right) - 2\left( {1 + \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right) = 1 + \dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

\( \Rightarrow a = 1,\,\,b = \dfrac{5}{3} \Rightarrow T = ab = \dfrac{5}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.