Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm O và cạnh bằng a, \(\widehat {BAC} = {60^0}\). Gọi I, J lần lượt là tâm của các mặt bên \(ABB'A',\,CDD'C'\). Biết \(AI = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2},\,AA' = 2a\) và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng \({60^0}\). Tính theo a thể tích của khối tứ diện \(AOIJ\).

Câu 421332: Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm O và cạnh bằng a, \(\widehat {BAC} = {60^0}\). Gọi I, J lần lượt là tâm của các mặt bên \(ABB'A',\,CDD'C'\). Biết \(AI = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2},\,AA' = 2a\) và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng \({60^0}\). Tính theo a thể tích của khối tứ diện \(AOIJ\).

A. \(\dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{{64}}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{48}}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{192}}\).

Câu hỏi : 421332

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Lập tỉ lệ thể tích.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Lấy M đối xứng B’ qua C’\( \Rightarrow \) J là trung điểm của AM.

Ta có: \({V_{AOIJ}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.{V_{A.CB'M}} = \dfrac{1}{8}{V_{A.CB'M}}\)

Mà \({S_{\Delta CB'M}} = {S_{BCC'B'}} \)

\(\Rightarrow \)\({V_{A.CB'M}} = {V_{A.BCC'B'}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} \)

\(\Rightarrow {V_{AOIJ}} = \dfrac{1}{{24}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)

Ta có: \({S_{ABCD}} = 2.{S_{ABC}} = 2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác AA’B’ có: \(AB' = a\sqrt 7 ,\,A'B' = a,\,AA' = 2a\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {B'AA'} = \dfrac{{7{a^2} + 4{a^2} - {a^2}}}{{2.\sqrt 7 a.2a}} = \dfrac{5}{{2\sqrt 7 }}\)

\( \Rightarrow \sin \widehat {B'AA'} = \sqrt {\dfrac{3}{{28}}} \)

\( \Rightarrow {S_{AA'B'}} = \dfrac{1}{2}.AB'.AA'.\sin \widehat {B'AA'} = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 7 .2a.\sqrt {\dfrac{3}{{28}}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Mặt khác \({S_{AA'B'}} = \dfrac{1}{2}.AH.A'B' \Rightarrow \dfrac{1}{2}.AH.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = a\sqrt 3 \) (trong đó: AH là đường cao của tam giác AA’B’)

Do góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng \({60^0}\) nên

\(d\left( {A;\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = AH.\sin {60^0} = a\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\)

\( \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4} \)

\( \Rightarrow {V_{AOIJ}} = \dfrac{1}{{24}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{1}{{24}}.\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{32}}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.