Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 4x + 2y + 2z - 3 = 0, mặt phẳng (P): x - y + z + 1 = 0 và hai điểmA(-1; 1; 0), B(2; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với AB, vuông góc với mp(P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng √3.

Câu hỏi số 42161:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x²+ y²+ z²- 4x + 2y + 2z - 3 = 0, mặt phẳng (P): x - y + z + 1 = 0 và hai điểmA(-1; 1; 0), B(2; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với AB, vuông góc với mp(P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng √3.

A. x - y - 2z + 1 = 0 hoặc x - y - 2z - 11 = 0

B. x - y - 2z + 1 = 0

C. x - y - 2z + 1 = 0 hoặc x + y - 2z - 11 = 0

D. x - y - 2z - 11 = 0

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42161

Giải chi tiết

Phương trình (S) viết dưới dạng (x - 2)²+ (y + 1)²+ (z + 1)²= 9.

Suy ra (S) có tâm I(2;-1;-1), bán kính R = 3.

Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (3; 1; 1), một vecto pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n}$ = (1;-1; 1)

Do đó [ $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{n}$ ] = (2;-2;-4) ≠ $\overrightarrow{0}$

Gọi $\overrightarrow{u}$ là một vecto pháp tuyến của mp(α). Ta có:

(α) // AB, (α) ⊥ (P) => $\overrightarrow{u}$ ⊥ $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{u}$ ⊥ $\overrightarrow{n}$ => $\overrightarrow{u}$ cùng phương với

[ $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{n}$ ].

Chọn $\overrightarrow{u}$ = $\frac{1}{2}$ [ $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{n}$ ] => $\overrightarrow{u}$ = (1;-1;-2)

Mp(α) có một vecto pháp tuyến $\overrightarrow{u}$ nên có phương trình dạng x - y - 2z + D = 0

Gọi d là khoảng cách từ I đến mp(α)

Mp(α) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính r = √3 nên d = $\sqrt{R^{2}-r^{2}}$ = $\sqrt{9-3}$ = √6

Ta có d = √6 ⇔ $\frac{|2-(-1)-2(-1)+D)|}{\sqrt{6}}$ = √6 ⇔ |5 + D| = 6

⇔ $[\begin{matrix} D=1 & & \\ D=-11 & & \end{matrix}$

Vói D = 1 thì (α):x - y - 2z + 1 = 0 không qua A(-1; 1; 0)

(vì -1 - 1 - 2.0 + 1 ≠ 0) nên (α) // AB.

Tương tự, mp(α): x - y - 2z - 11 = 0 cũng song song với AB.

Vậy có hai mặt phẳng (α) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình:

x - y - 2z + 1 = 0 hoặc x - y - 2z - 11 = 0

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.