Cho hàm số: y = x3 + (2m – 1)x2 + (m2 – 2m – 1)x – m2 + 1 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 (HS tự làm). 2. Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C phân biệt (A là điểm cố định) sao cho 2(k1 + k2) = x1x2, trong đó k1, k2 là hệ số góc của tiếp tuyến với (1) tại B, C; x1, x2 là hoành độ các điểm cực trị của (1).

Câu hỏi số 42172:

Cho hàm số: y = x³ + (2m – 1)x² + (m² – 2m – 1)x – m²+ 1 (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 (HS tự làm).

2. Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C phân biệt (A là điểm cố định) sao cho 2(k₁ + k₂) = x₁x₂, trong đó k₁, k₂ là hệ số góc của tiếp tuyến với (1) tại B, C; x₁, x₂ là hoành độ các điểm cực trị của (1).

A. m = 1 ± √26.

B. m = 1 - √26.

C. m = 1 + √26.

D. m = - 1 ± √26.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42172

Giải chi tiết

1. Tập xác định: D = R

Chiếu biến thiên y' = 3x² – 2x - 1, y' = 0 <=> x = 1 hoặc x = - $\frac{1}{3}$

Các khoảng đồng biến ( -∞; - $\frac{1}{3}$ ) và (1; +∞), nghịch biến (- $\frac{1}{3}$ ; 1)

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 , Yct = 0,

đạt cực đại tại x = - $\frac{1}{3}$ và Ycđ = $\frac{32}{27}$

giới hạn $\lim_{x \rightarrow -\infty }$ y = -∞, $\lim_{x \rightarrow +\infty }$ y = +∞

Đồ thị:

2. Hoành độ giao điểm của (1) với Ox là:

x³ + (2m – 1)x² + (m² – 2m – 1)x – m² + 1 = 0

⇔ (x – 1)(x² + 2mx + m² – 1) = 0

⇔ x = 1 hoặc g(x) = x² + 2mx + m² – 1 = 0.

Để (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt A, B, C thì g(x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1

<=> ∆' = m² – m² + 1 = 1 > 0 ∀m và g(1) = 1 + 2m + m² – 1 ≠ 0

<=> $\left\{\begin{matrix} m \neq -2 & \\ m \neq 0 & \end{matrix}\right.$

Gọi a, b là nghiệm của phương trình g(x) = 0 => B(a; 0), C(b; 0).

Tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm B, C có hệ số góc là

k₁ = 3a² + 2(2m – 1)a + m² – 2m – 1;

k₂ = 3b² + 2(2m – 1)b + m² – 2m – 1.

Theo gỉa thiết ta có: 6(a² + b²) + 4(2m – 1)(a + b) + 4m² – 8m – 4 = x₁x₂

⇔ 6[(a + b)² – 2ab] + 4(2m – 1)(a + b) + 4m² – 8m – 4 = x₁x₂

⇔ 6(4m² – 2m² + 2) + 4(2m – 1)(-2m) + 4m² – 8m – 4 = $\frac{m^2 - 2m - 1}{3}$

⇔ m² – 2m – 25 = 0 ⇔ m = 1 ± √26.

Vậy m = 1 ± √26 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.