Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh là \(a;\,\,b;\,\,c\). Gọi \(p\) là nửa chu vi của tam giác.

Câu hỏi số 421925:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh là \(a;\,\,b;\,\,c\). Gọi \(p\) là nửa chu vi của tam giác. Biết dãy số \(a;\,\,b;\,\,c;\,\,p\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm cosin của góc nhỏ nhất trong tam giác đó.

A. \(\dfrac{4}{5}\)

B. \(\dfrac{3}{4}\)

C. \(\dfrac{5}{6}\)

D. \(\dfrac{3}{5}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:421925

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát của CSC có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

- Biểu diễn b, c theo a, từ đó tìm cạnh nhỏ nhất để suy ra góc nhỏ nhất và tính cosin góc đó theo công thức: \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Giải chi tiết

Gọi CSC đã cho có số hạng đầu bằng a và công sai d .

Khi đó \(b = a + d;\,\,c = a + 2d,\,\,p = a + 3d\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{a + b + c}}{2} = a + 3d\\ \Leftrightarrow \dfrac{{a + a + d + a + 2d}}{2} = a + 3d\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3a + 3d}}{2} = a + 3d\\ \Leftrightarrow 3a + 3d = 2a + 6d\\ \Leftrightarrow a = 3d \Rightarrow d = \dfrac{a}{3} > 0\end{array}\)

Do đó a là số hạng nhỏ nhất nên \(\widehat A\) là góc nhỏ nhất.

Lại có

\(\begin{array}{l}b = a + d = a + \dfrac{a}{3} = \dfrac{{4a}}{3}\\c = a + 2d = a + \dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{5a}}{3}\end{array}\)

Áp dụng định lí Co-sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{4a}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{5a}}{3}} \right)}^2} - {a^2}}}{{2.\dfrac{{4a}}{3}.\dfrac{{5a}}{3}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{32{a^2}}}{9}:\dfrac{{40{a^2}}}{9} = \dfrac{4}{5}\end{array}\)

Vậy \(\cos A = \dfrac{4}{5}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.