Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = \dfrac{1}{3}}\\{{u_{n +

Câu hỏi số 421937:

Vận dụng cao

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = \dfrac{1}{3}}\\{{u_{n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{3n}};\forall n \ge 1}\end{array}} \right.\) . Có bao nhiêu số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \({u_n} < \dfrac{1}{{2020}}\).

A. \(0\)

B. \(9\)

C. vô số

D. \(5\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:421937

Phương pháp giải

- Tìm số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

- Thay vào điều kiện \({u_n} < 2020\) tìm \(n\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{n}{{3\left( {n - 1} \right)}}{u_{n - 1}}\\{u_{n - 1}} = \dfrac{{n - 1}}{{3\left( {n - 2} \right)}}{u_{n - 2}}\\{u_{n - 2}} = \dfrac{{n - 2}}{{3\left( {n - 3} \right)}}{u_{n - 3}}\\...\\{u_2} = \dfrac{2}{{3.1}}{u_1}\end{array}\)

\( \Rightarrow {u_n}.{u_{n - 1}}.{u_{n - 2}}...{u_2}\)\( = \dfrac{n}{{3\left( {n - 1} \right)}}.\dfrac{{n - 1}}{{3\left( {n - 2} \right)}}.\dfrac{{n - 2}}{{3\left( {n - 3} \right)}}...\dfrac{2}{{3.1}}.\)\(\left( {{u_{n - 1}}.{u_{n - 2}}.{u_{n - 3}}...{u_1}} \right)\)

\( \Rightarrow {u_n} = \dfrac{n}{{{3^{n - 1}}}}.{u_1} = \dfrac{n}{{{3^{n - 1}}}}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{n}{{{3^n}}}\)

\( \Rightarrow {u_n} < 2020 \Leftrightarrow \dfrac{n}{{{3^n}}} < 2020\)

Dễ thấy \(\lim {u_n} = \lim \dfrac{n}{{{3^n}}} = 0\) nên \(n\) càng lớn thì \({u_n}\) càng dần tiến về 0 nên \({u_n} < 2020\).

Do đó có vô số giá trị n thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.