Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( {4x} \right) = f\left( x

Câu hỏi số 421938:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( {4x} \right) = f\left( x \right) + 4{x^3} + 2x\) và \(f\left( 0 \right) = 2\) . Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx\).

A. \(\dfrac{{148}}{{63}}\)

B. \(\dfrac{{146}}{{63}}\)

C. \(\dfrac{{149}}{{63}}\)

D. \(\dfrac{{145}}{{63}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:421938

Phương pháp giải

- Biến đổi đẳng thức đã cho thành:

\(f\left( {4x} \right) = f\left( x \right) + 4{x^3} + 2x \Leftrightarrow f\left( {4x} \right) - f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x\)

- Từ đó suy ra \(f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)

- Sử dụng điều kiện bài cho tìm hàm số \(f\left( x \right)\) và tính tích phân.

Giải chi tiết

\(f\left( {4x} \right) = f\left( x \right) + 4{x^3} + 2x \Leftrightarrow f\left( {4x} \right) - f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x\)

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)

Vì \(f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow d = 2\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( {4x} \right) - f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x\\ \Rightarrow \left( {64a{x^3} + 16b{x^2} + 4cx + 2} \right) - \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + 2} \right) = 4{x^3} + 2x\\ \Rightarrow 63a{x^3} + 15b{x^2} + 3cx = 4{x^3} + 2x\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}63a = 4\\15b = 0\\3c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{4}{{63}}\\b = 0\\c = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{4}{{63}}{x^3} + \dfrac{2}{3}x + 2\end{array}\)

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{4}{{63}}{x^3} + \dfrac{2}{3}x + 2} \right)dx} = \dfrac{{148}}{{63}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.