Cho \(a\) là hằng số dương khác \(1\) thỏa mãn \({a^{2\cos 2x}} \ge 4{\cos ^2}x - 1;\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(a\) thuộc khoảng nào sau đây?

Câu 421945: Cho \(a\) là hằng số dương khác \(1\) thỏa mãn \({a^{2\cos 2x}} \ge 4{\cos ^2}x - 1;\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(a\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {4; + \infty } \right)\)

B. \(\left( {2;3} \right)\)

C. \(\left( {0;2} \right)\)

D. \(\left( {3;5} \right)\)

Câu hỏi : 421945

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Biến đổi bất phương trình về làm xuất hiện \(\cos 2x\).

- Đặt \(t = \cos 2x\), đưa bài toán về tìm a để bpt ẩn t thỏa mãn với mọi \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^{2\cos 2x}} \ge 4{\cos ^2}x - 1\\ \Leftrightarrow {a^{2\cos 2x}} \ge 4.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} - 1\\ \Leftrightarrow {a^{2\cos 2x}} \ge 2\left( {1 + \cos 2x} \right) - 1\\ \Leftrightarrow {a^{2\cos 2x}} \ge 2\cos 2x + 1\\ \Leftrightarrow {a^{2\cos 2x}} - 2\cos 2x - 1 \ge 0\end{array}\)

Đặt \(\cos 2x = t \in \left[ { - 1;1} \right]\) ta có \({a^{2t}} - 2t - 1 \ge 0\) (*)

Xét hàm \(f\left( t \right) = {a^{2t}} - 2t - 1\) trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) có \(f'\left( t \right) = 2{a^{2t}}\ln 2 - 2,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Dễ thấy \(f\left( 0 \right) = 0\) nên (*) là \(f\left( t \right) \ge f\left( 0 \right),\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Mà \(f\left( t \right)\) liên tục tại \(t = 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đạt cực tiểu tại \(t = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow 2.{a^{2.0}}\ln a - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \ln a = 1 \Leftrightarrow a = e\\ \Rightarrow a \in \left( {2;3} \right)\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.