Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = a;\)\(AC = 2a\). Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right);\)\(\left( {SAC} \right)\) cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc bằng \({60^0}\) . Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Tính \(\tan \alpha \).

Câu 421944: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = a;\)\(AC = 2a\). Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right);\)\(\left( {SAC} \right)\) cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc bằng \({60^0}\) . Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Tính \(\tan \alpha \).

A. \(\dfrac{{\sqrt {51} }}{{17}}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt {51} }}{3}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt {17} }}{3}\)

D. \(\dfrac{{3\sqrt {17} }}{{17}}\)

Câu hỏi : 421944

Phương pháp giải:

- Gắn hệ trục tọa độ và tính toán, sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng :

(P) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} \) ; (Q) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} \) ; \(\alpha \) là góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

- Sử dụng công thức \(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi H là hình chiếu của S lên BC.

Do \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}HI \bot AB\\SH \bot AB\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AB \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow AB \bot SI\)

Ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\HI \subset \left( {ABC} \right),HI \bot AB\\SI \subset \left( {SAB} \right),SI \bot AB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \) góc giữa (SAB) và (ABC) bằng góc giữa SI và HI hay \(\widehat {SIH} = {60^0}\).

Tương tự góc giữa (SAC) và (ABC) bằng \(\widehat {SKH} = {60^0}\)

Xét tam giác SHI và SKI có :

\(SH\) chung

\(\widehat {SIH} = \widehat {SKH} = {60^0}\)

\( \Rightarrow \Delta SHI = \Delta SHK\left( {cgv - gn} \right)\)

\( \Rightarrow IH = KH\)

Xét tứ giác AIHK là hình chữ nhật có IH=KH nên là hình vuông.

Đặt \(IH = KH = AK = AI = x\)\( \Rightarrow CK = 2a - x\)

\(\begin{array}{l}KH//AB \Rightarrow \dfrac{{KH}}{{AB}} = \dfrac{{CK}}{{CA}}\\ \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{{2a - x}}{{2a}} \Leftrightarrow 2ax = 2{a^2} - ax\\ \Leftrightarrow 3ax = 2{a^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{2a}}{3}\end{array}\)

Tam giác SKH vuông tại H có \(\widehat {SKH} = {60^0}\) và \(HK = \dfrac{{2a}}{3}\) nên \(SH = HK\tan {60^0} = \dfrac{{2a}}{3}.\sqrt 3 = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ở đó :

\(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {a;0;0} \right),\)\(C\left( {0;2a;0} \right),S\left( {\dfrac{{2a}}{3};\dfrac{{2a}}{3};\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)\)

Ta có : \(\overrightarrow {AS} = \left( {\dfrac{{2a}}{3};\dfrac{{2a}}{3};\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right),\)\(\overrightarrow {BS} = \left( { - \dfrac{a}{3};\dfrac{{2a}}{3};\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right),\)\(\overrightarrow {CS} = \left( {\dfrac{{2a}}{3}; - \dfrac{{4a}}{3};\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)\)

Đặt

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} = \dfrac{3}{{2a}}\overrightarrow {AS} = \left( {1;1;\sqrt 3 } \right)\\\overrightarrow {{u_2}} = \dfrac{3}{a}\overrightarrow {BS} = \left( { - 1;2;2\sqrt 3 } \right)\\\overrightarrow {{u_3}} = \dfrac{3}{{2a}}\overrightarrow {CS} = \left( {1; - 2;\sqrt 3 } \right)\end{array}\)

Thì \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là cặp VTCP của (SAB) ; \(\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} \) là cặp VTCP của (SBC)

Ta có : \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0; - 3\sqrt 3 ;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left( {0; - \sqrt 3 ;1} \right)\) là một VTPT của (SAB).

\(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_3}} } \right] = \left( {6\sqrt 3 ;3\sqrt 3 ;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1;0} \right)\) là một VTPT của (SBC).

Đặt góc giữa (SAB) và (SBC) là \(\alpha \) thì

\(\begin{array}{l}\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\\ = \dfrac{{\left| {0.2 - \sqrt 3 .1 + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} }}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{{10}}\\ \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \dfrac{1}{{\dfrac{{15}}{{100}}}} - 1 = \dfrac{{85}}{{15}}\\ \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{\sqrt {51} }}{3}\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.