Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại A và B. Biết \(AD = 2a,\) \(AB = BC = a\) và SA vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(M\) là trung điểm \(AD\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(SC\) bằng:

Câu 422200: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại A và B. Biết \(AD = 2a,\) \(AB = BC = a\) và SA vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(M\) là trung điểm \(AD\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(SC\) bằng:

A. \(a\sqrt 2 .\)

B. \(\dfrac{a}{2}.\)

C. \(a\)

D. \(2a\)

Câu hỏi : 422200

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí: Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia. Chứng minh \(d\left( {BM;SC} \right) = d\left( {BM;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right)\).

- Đổi \(d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right)\) sang \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

- Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AH \bot SC\), chứng minh \(AH \bot \left( {SCD} \right)\).

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính \(AH\).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Ta có \(BC = MD;\,\,BC\parallel MD \Rightarrow BCDM\) là hình bình hành \( \Rightarrow BM\parallel CD\).

\( \Rightarrow BM\parallel \left( {SCD} \right) \supset SC\) \( \Rightarrow d\left( {BM;SC} \right) = d\left( {BM;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Ta có: \(AM \cap \left( {SCD} \right) = D \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {BM;SC} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Xét tứ giác \(ABCM\) có: \(BC = AM,\,\,BC\parallel AM,\,\,AB = BC,\,\,AB \bot BC\) nên \(ABCM\) là hình vuông.

\( \Rightarrow CM = AB = a = \dfrac{1}{2}AD\) \( \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(C\) (định lí đường trung tuyến) \( \Rightarrow AC \bot CD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right)\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \) \( = SA\) \( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại \(A\).

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{AC\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2} = a\).

Vậy \(d\left( {BM;SC} \right) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{a}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.