Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x

Câu hỏi số 422202:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = \left( {2 - 3x} \right)f\left( x \right)\), khi đó giá trị của \(f\left( 1 \right)\) bằng:

A. \(2\)

B. \({e^{\dfrac{1}{2}}}.\)

C. \({e^{ - \dfrac{1}{2}}}.\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422202

Phương pháp giải

- Từ giả thiết \(f'\left( x \right) = \left( {2 - 3x} \right)f\left( x \right)\) suy ra \(\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = 2 - 3x\). Lấy nguyên hàm hai vế để tìm hàm số \(f\left( x \right)\).

- Sử dụng công thức \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \ln \left| {f\left( x \right)} \right|\).

- Thay \(f\left( 0 \right) = 1\) tìm hằng số \(C\).

- Thay \(x = 1\) tính \(f\left( 1 \right)\).

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = \left( {2 - 3x} \right)f\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = 2 - 3x\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx = \int {\left( {2 - 3x} \right)dx} } \\ \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| = 2x - \dfrac{3}{2}{x^2} + C\end{array}\)

Thay \(x = 0\) ta có: \(\ln \left| {f\left( 0 \right)} \right| = C \Leftrightarrow \ln 1 = C = 0\).

\( \Rightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| = 2x - \dfrac{3}{2}{x^2}\).

Mà \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = 2x - \dfrac{3}{2}{x^2}\).

Thay \(x = 1\) ta có: \(\ln f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow f\left( 1 \right) = {e^{\frac{1}{2}}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.