Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) và \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(N\) là điểm trên cạnh \(A'D'\)
Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) và \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(N\) là điểm trên cạnh \(A'D'\) sao cho \(2A'N = 3D'N\). Mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt là \({V_1};\,\,{V_2}\) thỏa mãn \({V_1} < {V_2}\). Tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Trong (ABCD), kéo dài BM cắt AD tại E.
Trong (ADD’A’) nối NE cắt DD’ tại P.
Giả sử \(\left( {BMN} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = NQ\) , ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BMN} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = NQ\\\left( {BMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BM\\\left( {ABCD} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NQ\parallel BM\) \( \Rightarrow Q \in A'B'\).
Khi đó thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi \(\left( {BMN} \right)\) là ngũ giác \(BMPNQ\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BMN} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = BQ\\\left( {MNN} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = NP\\\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = AA'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BQ,\,\,NP,\,\,AA'\) đồng quy tại \(S\).
Gọi \({V_1}\) là thể tích phần thể tích chứa điểm \(A\), \(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}}\).
Ta có: \({V_1} = {V_{S.ABE}} - {V_{S.A'QN}} - {V_{P.MED}}\).
Gọi \(M'\) là trung điểm của \(C'D'\), \(E' = BM' \cap A'D'\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{E'M'}}{{E'B'}} = \dfrac{{E'D'}}{{E'A'}} = \dfrac{{D'M'}}{{A'B'}} = \dfrac{1}{2}\).
\( \Rightarrow 2A'N = 3ND' \Rightarrow A'N = \dfrac{3}{5}A'D' = \dfrac{3}{{10}}A'E'\).
Khi đó ta có: \(\dfrac{{QN}}{{BE'}} = \dfrac{{A'N}}{{A'E'}} = \dfrac{3}{{10}} = \dfrac{{QN}}{{BE}}\) (vì \(BE = B'E'\)).
Ta có: \(\dfrac{{SQ}}{{SB}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SN}}{{SE}} = \dfrac{{QN}}{{BE}} = \dfrac{3}{{10}}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.A'QN}}}}{{{V_{S.ABE}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SQ}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SE}} = {\left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)^3} = \dfrac{{27}}{{1000}}\).
Ta có: \({S_{ABE}} = {S_{ABMD}} + {S_{DME}} = {S_{ABMD}} + {S_{CMB}} = {S_{ABCD}}\); \(\dfrac{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {A';\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{SA}}{{AA'}} = \dfrac{{10}}{7}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.ABE}}}}{V} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{10}}{7} = \dfrac{{10}}{{21}}\\ \Rightarrow {V_{S.ABE}} = \dfrac{{10}}{{21}}V\\ \Rightarrow {V_{S.A'QN}} = \dfrac{{27}}{{1000}}.\dfrac{{10}}{{21}} = \dfrac{9}{{700}}V\end{array}\)
Ta có: \(\dfrac{{PD'}}{{PD}} = \dfrac{{ND'}}{{DE}} = \dfrac{{ND'}}{{A'D'}} = \dfrac{2}{5}\).
\(\dfrac{{{S_{MDE}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{{S_{MCB}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{4};\,\,\dfrac{{d\left( {P;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {D';\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{PD}}{{DD'}} = \dfrac{5}{7}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{P.MDE}}}}{V} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{5}{7} = \dfrac{5}{{84}}V\).
\( \Rightarrow {V_1} = \dfrac{{10}}{{21}}V - \dfrac{9}{{700}}V - \dfrac{5}{{84}}V = \dfrac{{212}}{{525}}V\).
\( \Rightarrow \) Thể tích phần còn lại là \({V_2} = V - {V_1} = \dfrac{{313}}{{525}}V\).
Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{212}}{{313}}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
