Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(c\) để tồn tại các số thực \(a > 1,\,\,b > 1\)

Câu hỏi số 422213:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(c\) để tồn tại các số thực \(a > 1,\,\,b > 1\) thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\dfrac{{5b - a}}{c}\)?

A. 5

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422213

Giải chi tiết

Đặt \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\dfrac{{5b - a}}{c} = t\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^t}\\b = {12^t}\\\dfrac{{5b - a}}{c} = {16^t}\end{array} \right.\)

(Vì \(a > 1 \Rightarrow {9^t} > 1 \Leftrightarrow t > 0\)).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{5.12^t} - {9^t} = c{.16^t}\\ \Leftrightarrow {16^t}.c - {5.12^t} + {9^t} = 0\\ \Leftrightarrow c.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2t}} - 5.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t} + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(x = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t}\). Vì \(t > 0 \Rightarrow x > 1\).

Khi đó phương trình (*) trở thành: \(c{x^2} - 5x + 1 = 0\,\,\,\,\left( {2*} \right)\)

\( \Rightarrow \) Để tồn tại hai số thực \(a > 1;\,\,b > 1\) thì phương trình (2*) có nghiệm lớn hơn \(x > 1\).

Ta có: \(\Delta = 25 - 4c\).

TH1: \(\Delta = 0 \Leftrightarrow c = \dfrac{{25}}{4}\), khi đó phương trình (2*) có nghiệm kép \(x = \dfrac{5}{{2c}}\).

\( \Rightarrow x > 1 \Leftrightarrow \dfrac{5}{{2c}} = \dfrac{2}{5} < 1\) (loại).

TH2: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow c < \dfrac{{25}}{4}\), khi đó phương trình (2*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{5}{c}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{1}{c}\end{array} \right.\).

Để (2*) có 2 nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} \le 1\\{x_2} \le 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{5}{c} \le 2\\\dfrac{1}{c} - \dfrac{5}{c} + 1 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c \ge \dfrac{5}{2}\\\dfrac{4}{c} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c \ge \dfrac{5}{2}\\c \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow c \ge 4\end{array}\)

Do đó để phương trình (2*) có nghiệm \(x > 1\) thì \(c < 4\).

Kết hợp điều kiện \(c < \dfrac{{25}}{4} \Rightarrow c < 4\).

Mà \(c\) là số nguyên dương nên \(c \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Vậy có tất cả 3 giá trị của \(c\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.