Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(c\) để tồn tại các số thực \(a > 1,\,\,b > 1\) thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\dfrac{{5b - a}}{c}\)?
Câu 422213: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(c\) để tồn tại các số thực \(a > 1,\,\,b > 1\) thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\dfrac{{5b - a}}{c}\)?
A. 5
B. 2
C. 3
D. 4
Quảng cáo
-
Đáp án : C(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\dfrac{{5b - a}}{c} = t\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^t}\\b = {12^t}\\\dfrac{{5b - a}}{c} = {16^t}\end{array} \right.\)
(Vì \(a > 1 \Rightarrow {9^t} > 1 \Leftrightarrow t > 0\)).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{5.12^t} - {9^t} = c{.16^t}\\ \Leftrightarrow {16^t}.c - {5.12^t} + {9^t} = 0\\ \Leftrightarrow c.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2t}} - 5.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t} + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \(x = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t}\). Vì \(t > 0 \Rightarrow x > 1\).
Khi đó phương trình (*) trở thành: \(c{x^2} - 5x + 1 = 0\,\,\,\,\left( {2*} \right)\)
\( \Rightarrow \) Để tồn tại hai số thực \(a > 1;\,\,b > 1\) thì phương trình (2*) có nghiệm lớn hơn \(x > 1\).
Ta có: \(\Delta = 25 - 4c\).
TH1: \(\Delta = 0 \Leftrightarrow c = \dfrac{{25}}{4}\), khi đó phương trình (2*) có nghiệm kép \(x = \dfrac{5}{{2c}}\).
\( \Rightarrow x > 1 \Leftrightarrow \dfrac{5}{{2c}} = \dfrac{2}{5} < 1\) (loại).
TH2: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow c < \dfrac{{25}}{4}\), khi đó phương trình (2*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{5}{c}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{1}{c}\end{array} \right.\).
Để (2*) có 2 nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} \le 1\\{x_2} \le 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{5}{c} \le 2\\\dfrac{1}{c} - \dfrac{5}{c} + 1 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c \ge \dfrac{5}{2}\\\dfrac{4}{c} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c \ge \dfrac{5}{2}\\c \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow c \ge 4\end{array}\)
Do đó để phương trình (2*) có nghiệm \(x > 1\) thì \(c < 4\).
Kết hợp điều kiện \(c < \dfrac{{25}}{4} \Rightarrow c < 4\).
Mà \(c\) là số nguyên dương nên \(c \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).
Vậy có tất cả 3 giá trị của \(c\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
