Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\sin x\,f\left( {\cos x}

Câu hỏi số 422300:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\sin x\,f\left( {\cos x} \right) + \cos x\,f\left( {\sin x} \right) = \sin 2x - \dfrac{1}{2}{\sin ^3}2x\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx\).

A. \(\dfrac{1}{6}\).

B. \(\dfrac{2}{3}\).

C. \(1\).

D. \(\dfrac{1}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422300

Phương pháp giải

Lấy tích phân từ \(0\) đến \(\dfrac{\pi }{2}\) hai vế phương trình \(\sin x\,f\left( {\cos x} \right) + \cos x\,f\left( {\sin x} \right) = \sin 2x - \frac{1}{2}{\sin ^3}2x\).

Giải chi tiết

Lấy tích phân từ \(0\) đến \(\dfrac{\pi }{2}\) hai vế phương trình \(\sin x\,f\left( {\cos x} \right) + \cos x\,f\left( {\sin x} \right) = \sin 2x - \dfrac{1}{2}{\sin ^3}2x\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\sin x\,f\left( {\cos x} \right) + \cos x\,f\left( {\sin x} \right)} \right]} \,dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\sin 2x - \frac{1}{2}{{\sin }^3}2x} \right]} \,dx\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\,f\left( {\cos x} \right)} \,dx + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x\,f\left( {\sin x} \right)} \,dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\sin 2x - \frac{1}{2}.\frac{{3\sin 2x - \sin 6x}}{4}} \right]} \,dx\\ \Leftrightarrow - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\,f\left( {\cos x} \right)} \,d\left( {\cos x} \right) + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)} \,d\left( {\sin x} \right) = \left. {\left( { - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{3}{{16}}\cos 2x - \frac{1}{{48}}\cos 6x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\ \Rightarrow - \int\limits_1^0 {\,f\left( t \right)} \,dt + \int\limits_0^1 {f\left( u \right)} \,du = \left( {\frac{1}{2} - \frac{3}{{16}} + \frac{1}{{48}}} \right) - \left( { - \frac{1}{2} + \frac{3}{{16}} - \frac{1}{{48}}} \right)\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\,f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx = \frac{1}{3}\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.