Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các điểm \(M\left( {x;y} \right)\), trong đó \(x,\,\,y\) là các số

Câu hỏi số 422301:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các điểm \(M\left( {x;y} \right)\), trong đó \(x,\,\,y\) là các số nguyên thỏa mãn điều kiện

\({\log _{{x^2} + {y^2} + 1}}\left( {2x + 2y + m} \right) \ge 1\), với \(m\) là tham số.

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2020;2019} \right]\) để tập \(S\) có không quá 5 phần tử?

A. \(2019\).

B. \(1\).

C. \(2021\).

D. \(2020\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422301

Phương pháp giải

- Giải bất phương trình logarit: \({\log _a}x \ge b \Leftrightarrow x \ge {a^b}\) (với \(a > 1\)).

- Đưa bất phương trình về dạng \({A^2} + {B^2} \le m\).

- Ứng với từng khoảng giá trị của \(m\), biện luận số nghiệm nguyên của bất phương trình.

Giải chi tiết

ĐK: \({x^2} + {y^2} + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ne 0 \Rightarrow \left( {x;y} \right) \ne \left( {0;0} \right)\).

Do \({x^2} + {y^2} + 1 > 1,\,\,\forall \left( {x;y} \right) \ne \left( {0;0} \right)\) nên với \(\forall \left( {x;y} \right) \ne \left( {0;0} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _{{x^2} + {y^2} + 1}}\left( {2x + 2y + m} \right) \ge 1\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + m \ge {x^2} + {y^2} + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le m + 1\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

+) Với \(m < - 1 \Rightarrow m + 1 < 0\): Bất phương trình (*) vô nghiệm \( \Rightarrow S = \emptyset \) \( \Rightarrow \) Tập \(S\) có 0 phần tử \( \Rightarrow \) thỏa mãn.

+) Với \(m = - 1 \Rightarrow \) BPT (*) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow x = y = 1 \Rightarrow S = \left\{ {\left( {1;1} \right)} \right\}\) \( \Rightarrow \) Tập \(S\) có 1 phần tử \( \Rightarrow \) thỏa mãn

+) Với \(m = 0 \Rightarrow \) \(\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le 1\).

\( \Rightarrow \)\(S = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;0} \right);\left( {1;2} \right);\left( {0;1} \right);\left( {2;1} \right)} \right\}\) \( \Rightarrow \) Tập \(S\) có 5 phần tử \( \Rightarrow \) thỏa mãn.

+) Với \(m \ge 1\).

Ví dụ \(m = 1 \Rightarrow S = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;0} \right);\left( {1;2} \right);\left( {0;1} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right)} \right\}\) \( \Rightarrow \) Tập \(S\) có hơn 5 phần tử \( \Rightarrow \) loại.

Tương tự như vậy với mọi \(m \ge 1\) không thỏa mãn.

\( \Rightarrow m \le - 1,\,\,m = 0\) thỏa mãn.

Kết hợp điều kiện \(m\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 2020;2019} \right]\).

\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 2020; - 2019;...;0} \right\}\).

Vậy có tất cả 2021 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.