Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - {m^2}}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\), trong đó \(m\) là

Câu hỏi số 422302:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - {m^2}}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\), trong đó \(m\) là tham số thực. Đường thẳng \(d:\,y = m - x\) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),\) \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) với \({x_A} < {x_B}\); đường thẳng \(d':\,y = 2 - m - x\) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại hai điểm \(C\left( {{x_C};{y_C}} \right),\,\) \(D\left( {{x_D};{y_D}} \right)\) với \({x_C} < {x_D}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \({x_A}.{x_D} = - 3\). Số phần tử của tập \(S\) là:

A. \(2\).

B. \(1\).

C. \(3\).

D. \(0\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422302

Phương pháp giải

- Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(\left( {{C_m}} \right)\), từ đó suy ra tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số.

- Chứng minh \(d,\,\,d'\) đối xứng nhau qua \(I\).

- Gọi \({x_A} = - 1 - \Delta \Rightarrow {x_D} = - 1 + \Delta \,\,\left( {\Delta > 0} \right)\). Giải phương trình \({x_A}.{x_D} = - 3\), tìm \(\Delta \), từ đó suy ra \({x_A},\,\,{x_D}\).

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và \(d\), có nghiệm \(x = {x_A}\), từ đó tìm \(m\).

Giải chi tiết

Đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) có đường TCN \(y = 2\) và đường TCĐ \(x = - 1\), tâm đối xứng \(I\left( { - 1;2} \right)\).

Dễ dàng nhận thấy \(d\parallel d'\).

Xét phép đối xứng tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), lấy \(M\left( {x;y} \right)\) bất kì thuộc \(d\).

Gọi \(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của \(M\) qua phép đối xứng tâm \(I\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - 2 - x\\y' = 4 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - x'\\y = 4 - y'\end{array} \right.\).

\(M \in d \Rightarrow 4 - y' = m + 2 + x' \Leftrightarrow y' = 2 - m - x'\)

\( \Rightarrow M' \in d'\).

Do đó đường thẳng \(d\) và \(d'\) đối xứng nhau qua \(I\) với mọi \(m\).

Giả sử \({x_A} = - 1 - \Delta \Rightarrow {x_D} = - 1 + \Delta \,\,\left( {\Delta > 0} \right)\). Ta có:

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x_A}.{x_D} = - 3\\ \Leftrightarrow \left( { - 1 - \Delta } \right)\left( { - 1 + \Delta } \right) = - 3\\ \Leftrightarrow 1 - {\Delta ^2} = - 3\\ \Leftrightarrow {\Delta ^2} = 4 \Rightarrow \Delta = 2\end{array}\).

\( \Rightarrow {x_A} = - 3,\,\,{x_D} = 1\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và \(d\) ta có: \(\dfrac{{2x - {m^2}}}{{x + 1}} = m - x\).

Phương trình này có nghiệm \({x_A} = - 3\) nên \(\dfrac{{ - 6 - {m^2}}}{{ - 2}} = m + 3 \Leftrightarrow {m^2} + 6 = 2m + 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và \(d'\) ta có: \(\dfrac{{2x - {m^2}}}{{x + 1}} = 2 - m - x\).

Phương trình này có nghiệm \({x_D} = 1\) nên \(\dfrac{{2 - {m^2}}}{2} = 1 - m \Leftrightarrow 2 - {m^2} = 2 - 2m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow S = \left\{ {0;2} \right\}\).

Vậy tập hợp \(S\) có 2 phần tử.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.