Xét hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} + \int_0^1 {xf\left( x \right)dx} \). Giá trị của \(f\left( {\ln \left(

Câu hỏi số 422858:

Vận dụng

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} + \int_0^1 {xf\left( x \right)dx} \). Giá trị của \(f\left( {\ln \left( {5620} \right)} \right)\) bằng:

A. \(5622.\)

B. \(5620.\)

C. \(5618.\)

D. \(5621.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422858

Phương pháp giải

- Đặt tích phân \(\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx = a} \), suy ra \(f\left( x \right)\) theo \(a\), thay ngược lại \(f\left( x \right)\) vào biểu thức \(\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx = a} \), sử dụng phương pháp tích phân từng phần, sau đó giải phương trình tìm \(a\).

- Từ đó suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) và tính \(f\left( {\ln \left( {5620} \right)} \right)\).

Giải chi tiết

Đặt \(\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx = a} \) (\(a\) là hằng số).

Khi đó ta có: \(f\left( x \right) = {e^x} + a\) \( \Rightarrow xf\left( x \right) = x{e^x} + ax\).

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} + \int\limits_0^1 {axdx} = {I_1} + {I_2}\,\,\left( * \right)\).

Xét tích phân \({I_1} = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_1} = \left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = \left. {\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = e - e - \left( {0 - 1} \right) = 1\end{array}\)

Xét tích phân \({I_2} = \int\limits_0^1 {axdx} = \left. {\dfrac{{a{x^2}}}{2}} \right|_0^1 = \dfrac{a}{2}\).

Thay vào (*) ta có: \(\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} = 1 + \dfrac{a}{2} = a \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} = 1 \Leftrightarrow a = 2\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {e^x} + 2\).

Vậy \(f\left( {\ln \left( {5620} \right)} \right) = {e^{\ln \left( {5620} \right)}} + 2 = 5620 + 2 = 5622\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.