Cho khối chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = , cạnh AC cắt MD tại H. Biết SH ⊥ (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.HCD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SD và AC theo a.

Câu hỏi số 42308:

Cho khối chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = $\frac{a}{2}$ , cạnh AC cắt MD tại H. Biết SH ⊥ (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.HCD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SD và AC theo a.

A. d(SD; AC) = 2a; V_S.HCD = $\frac{4a^{3}}{15}$

B. d(SD; AC) = $\frac{2a}{3}$ ; V_S.HCD = 4a³

C. d(SD; AC) = $\frac{2a}{3}$ ; V_S.HCD = $\frac{4a^{3}}{9}$ .

D. d(SD; AC) = $\frac{2a}{3}$ ; V_S.HCD = $\frac{4a^{3}}{15}$ .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42308

Giải chi tiết

2 tam giác vuông AMD và DAC có $\frac{AM}{AD}$ = $\frac{AD}{CD}$ = $\frac{1}{2}$ nên đồng dạng

=> $\widehat{ADH}$ = $\widehat{DCH}$

mà $\widehat{ADH}$ = $\widehat{HDC}$ = 90⁰. => $\widehat{DHC}$ = 90⁰.

∆ACD vuông tại D nên AC² = AD² + DC² => AC = a√5.

Hệ thức lượng ∆ACD ta có DH.AC = DA.DC

=> DH = $\frac{2a}{\sqrt{5}}$

Tam giác DHC vuông tại H => HC = $\sqrt{DC^{2}-DH^{2}}$ = $\frac{4a}{\sqrt{5}}$

. S_HCD = $\frac{1}{2}$ DH.HC = $\frac{4a^{2}}{5}$

V_S.HCD = $\frac{1}{3}$ SH. S_HCD = $\frac{4a^{3}}{15}$ .

Dựng HE ⊥ SD. Ta có SH ⊥ (ABCD) => SH ⊥ AC, DH ⊥ AC => AC ⊥ (SHD).

Mà HE ⊂ (SHD) nên HE ⊥ AC => HE là đoạn vuông góc chung của SD và AC.

Nên HE = d(SD; AC)

Tam giác SHD vuông tại H nên $\frac{1}{HE^2}$ = $\frac{1}{SH^2}$ + $\frac{1}{HD^2}$ => HE = $\frac{2a}{3}$ .

Vậy d(SD; AC) = $\frac{2a}{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.