Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục và là hàm số lẻ trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\). Biết rằng

Câu hỏi số 423736:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục và là hàm số lẻ trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\). Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx} = - 1\), \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f( - 2x)dx} = 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} = 2\int\limits_0^2 {f(x)dx} .\)

B. \(\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {f(x)dx} = - 4.\)

C. \(\int\limits_0^1 {f(x)dx} = - 1.\)

D. \(\int\limits_0^2 {f(x)dx} = - 3.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:423736

Phương pháp giải

- Sử dụng định nghĩa hàm số lẻ: \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) và \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\,\,\forall x \in D\).

- Sử dụng tích chất tích phân của hàm lẻ: \(\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx} = 0\).

- Sử dụng phương pháp đổi biến số để tích tích phân.

Giải chi tiết

+ Vì \(f\left( x \right)\) là hàm lẻ trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) nên \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = 0\), do đó đáp án A sai.

+ Xét tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx} = - 1\).

Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = 1\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx} = \int\limits_1^0 {f( - t)\left( { - dt} \right)} = - \int\limits_0^1 {f\left( { - t} \right)dt} = - 1\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( { - t} \right)dt} = 1\end{array}\).

Lại có \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) nên \(f\left( { - t} \right) = f\left( t \right)\), suy ra \(\int\limits_0^1 {f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = 1\).

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 1\) \( \Rightarrow \) Đáp án C sai.

+ Xét tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( { - 2x} \right)dx} = 2\).

Đặt \(t = - 2x \Rightarrow dt = - 2dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = 1\\x = - 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( { - 2x} \right)dx} = 2\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} = 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} = - 4\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = - 4\end{array}\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 1 + \left( { - 4} \right) = - 3\).

\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng,

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.