Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục và là hàm số lẻ trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\). Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx} = - 1\), \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f( - 2x)dx} = 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Câu 423736: Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục và là hàm số lẻ trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\). Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx} = - 1\), \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f( - 2x)dx} = 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} = 2\int\limits_0^2 {f(x)dx} .\)
B. \(\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {f(x)dx} = - 4.\)
C. \(\int\limits_0^1 {f(x)dx} = - 1.\)
D. \(\int\limits_0^2 {f(x)dx} = - 3.\)
Quảng cáo
- Sử dụng định nghĩa hàm số lẻ: \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) và \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\,\,\forall x \in D\).
- Sử dụng tích chất tích phân của hàm lẻ: \(\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx} = 0\).
- Sử dụng phương pháp đổi biến số để tích tích phân.
-
Đáp án : D(32) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
+ Vì \(f\left( x \right)\) là hàm lẻ trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) nên \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = 0\), do đó đáp án A sai.
+ Xét tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx} = - 1\).
Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = 1\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx} = \int\limits_1^0 {f( - t)\left( { - dt} \right)} = - \int\limits_0^1 {f\left( { - t} \right)dt} = - 1\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( { - t} \right)dt} = 1\end{array}\).
Lại có \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) nên \(f\left( { - t} \right) = f\left( t \right)\), suy ra \(\int\limits_0^1 {f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = 1\).
\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 1\) \( \Rightarrow \) Đáp án C sai.
+ Xét tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( { - 2x} \right)dx} = 2\).
Đặt \(t = - 2x \Rightarrow dt = - 2dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = 1\\x = - 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( { - 2x} \right)dx} = 2\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} = 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} = - 4\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = - 4\end{array}\)
\( \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 1 + \left( { - 4} \right) = - 3\).
\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng,
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
