Xét các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,x,\,\,y\) thỏa mãn \(a > 1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} b > 1\) và \({\kern 1pt} {a^{{x^2}}} = {b^{{y^2}}} = {\left( {ab} \right)^2}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\kern 1pt} P = 2\sqrt 2 \,x + y\) thuộc tập hợp nào dưới đây ?
Câu 423738: Xét các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,x,\,\,y\) thỏa mãn \(a > 1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} b > 1\) và \({\kern 1pt} {a^{{x^2}}} = {b^{{y^2}}} = {\left( {ab} \right)^2}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\kern 1pt} P = 2\sqrt 2 \,x + y\) thuộc tập hợp nào dưới đây ?
A. \(\left[ {10;15} \right)\).
B. \(\left[ {6;10} \right)\).
C. \(\left( {1;4} \right)\).
D. \(\left[ {4;6} \right)\).
Quảng cáo
- Rút \(x,\,\,y\) theo \({\log _a}b\) bằng phương pháp logarit 2 vế.
- Đặt ẩn phụ \(t = {\log _a}b\) \(\left( {t > 0} \right)\).
- Lập BBT hàm số \(P = f\left( t \right)\). Dựa vào BBT tìm GTNN của hàm số.
-
Đáp án : B(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Lấy logarit cơ số \(a\), \(b\) cả 2 vế của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\kern 1pt} {a^{{x^2}}} = {\left( {ab} \right)^2}\\{b^{{y^2}}} = {\left( {ab} \right)^2}\end{array} \right.\), \(a > 1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} b > 1\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\log _a}{\left( {ab} \right)^2} = 2\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)\\{y^2} = {\log _b}{\left( {ab} \right)^2} = 2\left( {1 + {{\log }_b}a} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 .\sqrt {1 + {{\log }_a}b} \\y = \sqrt 2 .\sqrt {1 + {{\log }_b}a} \end{array} \right.\) (do \(x,\,\,y > 0\)).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{\kern 1pt} P = 2\sqrt 2 \,x + y\\\,\,\,\,\, = 2\sqrt 2 .\sqrt 2 .\sqrt {1 + {{\log }_a}b} + \sqrt 2 .\sqrt {1 + {{\log }_b}a} \\\,\,\,\,\, = 4\sqrt {1 + {{\log }_a}b} + \sqrt 2 .\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{{\log }_a}b}}} \end{array}\)
Đặt \(t = {\log _a}b > {\log _a}1 = 0\), ta có: \(P = 4\sqrt {1 + t} + \sqrt 2 .\sqrt {1 + \dfrac{1}{t}} \).
Ta có:
\(\begin{array}{l}P' = \dfrac{2}{{\sqrt {1 + t} }} + \sqrt 2 .\dfrac{{ - \dfrac{1}{{{t^2}}}}}{{2\sqrt {1 + \dfrac{1}{t}} }}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{{\sqrt {1 + t} }} - \dfrac{1}{{{t^2}\sqrt {2 + \dfrac{2}{t}} }}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{{\sqrt {1 + t} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {2{t^3}\left( {t + 1} \right)} }}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt {2{t^3}} - 1}}{{2\sqrt {{t^3}\left( {t + 1} \right)} }}\end{array}\)
Cho \(P' = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {2{t^3}} - 1 = 0 \Leftrightarrow 2{t^3} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\).
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \(\min P = 3\sqrt 6 \in \left[ {6;10} \right)\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
