Cho hàm số \(f(x) = {x^3} + x + 2\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{{f^3}(x) + f(x) + m}}} \right) = - {x^3} - x + 2\) có nghiệm \(x \in [ - 1;2]\)?

Câu 423740: Cho hàm số \(f(x) = {x^3} + x + 2\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{{f^3}(x) + f(x) + m}}} \right) = - {x^3} - x + 2\) có nghiệm \(x \in [ - 1;2]\)?

A. \(1750.\)

B. \(1748.\)

C. \(1747.\)

D. \(1746.\)

Câu hỏi : 423740

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{{f^3}(x) + f(x) + m}}} \right) = - {x^3} - x + 2\), xét hàm đặc trưng \(g\left( t \right) = {t^3} + t\).

- Chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên \(\mathbb{R}\), từ đó cô lập tham số \(m\), để phương trình về dạng \(m = h\left( x \right)\).

- Khảo sát hàm số \(h\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 1;2} \right]\), lập BBT của hàm số.

- Phương trình \(m = h\left( x \right)\) có nghiệm trên \(\left[ { - 1;2} \right]\) khi và chỉ khi \(m \in \left[ {\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} h\left( x \right);\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} h\left( x \right)} \right]\).

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,f\left( {\sqrt[3]{{{f^3}(x) + f(x) + m}}} \right) = - {x^3} - x + 2\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{{f^3}(x) + f(x) + m}}} \right)^3} + \sqrt[3]{{{f^3}(x) + f(x) + m}} + 2 = - {x^3} - x + 2\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{{f^3}(x) + f(x) + m}}} \right)^3} + \sqrt[3]{{{f^3}(x) + f(x) + m}} = {\left( { - x} \right)^3} + \left( { - x} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^3} + t\) ta có: \(g'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\), do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà \(g\left( {\sqrt[3]{{{f^3}(x) + f(x) + m}}} \right) = g\left( { - x} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) + m}} = - x\\ \Leftrightarrow {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) + m = - {x^3}\\ \Leftrightarrow {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) + {x^3} = - m\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) + x\) ta có:

\(\begin{array}{l}h'\left( x \right) = 3{f^2}\left( x \right).f'\left( x \right) + f'\left( x \right) + 3{x^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {3.{f^2}\left( x \right) + 1} \right].f'\left( x \right) + 3{x^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {3.{f^2}\left( x \right) + 1} \right].\left( {3{x^2} + 1} \right) + 3{x^2} > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ta có:

\(h\left( { - 1} \right) = {f^3}( - 1) + f( - 1) + {\left( { - 1} \right)^3} = 0 + 0 - 1 = - 1\)

\(h\left( 2 \right) = {f^3}(2) + f(2) + {\left( 2 \right)^3} = {12^3} + 12 + 8 = 1748\).

Ta có BBT:

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = - m\).

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\) khi và chỉ khi \( - 1 \le - m \le 1748 \Leftrightarrow - 1748 \le m \le 1\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1748; - 1747;...;0;1} \right\}\).

Vậy có 1750 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.