Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3mx + 2\,\,\left( C \right)\). Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để \(\left( C \right)\) có các điểm cực đại, cực tiểu là \(A,\,\,B\) sao cho \(\left( {MA + MB} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất với \(M\left( {1;2} \right)\).

Câu 424241: Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3mx + 2\,\,\left( C \right)\). Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để \(\left( C \right)\) có các điểm cực đại, cực tiểu là \(A,\,\,B\) sao cho \(\left( {MA + MB} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất với \(M\left( {1;2} \right)\).

A. \(m \in \emptyset \)

B. \(m = 0\)

C. \(m \in \left\{ {0;2} \right\}\)

D. \(m = 2\)

Câu hỏi : 424241

Quảng cáo

Phương pháp giải:

CTGN phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\): \(y = \left( {\dfrac{{2c}}{3} - \dfrac{{2{b^2}}}{{9a}}} \right)x + \left( {d - \dfrac{{bc}}{{9a}}} \right)\).

Đáp án : D
(9) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+ \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3m\), \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + m = 0\).

+ Hàm số có 2 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là:

\(y = \left( {\dfrac{{2.3m}}{3} - \dfrac{{2.9{m^2}}}{9}} \right)x + \left( {2 - \dfrac{{ - 3m.3m}}{9}} \right)\)\( \Leftrightarrow y = \left( {2m - 2{m^2}} \right)x + 2 + {m^2}\,\,\left( d \right)\).

Ta có: \(MA + MB \ge AB\) \( \Rightarrow {\left( {MA + MB} \right)_{\min }} = AB \Leftrightarrow M \in d\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2 = 2m - 2{m^2} + 2 + {m^2}\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 2\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.