Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3mx + 2\,\,\left( C \right)\). Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\)

Câu hỏi số 424241:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3mx + 2\,\,\left( C \right)\). Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để \(\left( C \right)\) có các điểm cực đại, cực tiểu là \(A,\,\,B\) sao cho \(\left( {MA + MB} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất với \(M\left( {1;2} \right)\).

A. \(m \in \emptyset \)

B. \(m = 0\)

C. \(m \in \left\{ {0;2} \right\}\)

D. \(m = 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:424241

Phương pháp giải

CTGN phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\): \(y = \left( {\dfrac{{2c}}{3} - \dfrac{{2{b^2}}}{{9a}}} \right)x + \left( {d - \dfrac{{bc}}{{9a}}} \right)\).

Giải chi tiết

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+ \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3m\), \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + m = 0\).

+ Hàm số có 2 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là:

\(y = \left( {\dfrac{{2.3m}}{3} - \dfrac{{2.9{m^2}}}{9}} \right)x + \left( {2 - \dfrac{{ - 3m.3m}}{9}} \right)\)\( \Leftrightarrow y = \left( {2m - 2{m^2}} \right)x + 2 + {m^2}\,\,\left( d \right)\).

Ta có: \(MA + MB \ge AB\) \( \Rightarrow {\left( {MA + MB} \right)_{\min }} = AB \Leftrightarrow M \in d\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2 = 2m - 2{m^2} + 2 + {m^2}\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.