Đường cong \(y = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2}\) có ba điểm cực trị lập thành 3 đỉnh của một tam giác vuông. Giá trị tham số \(m\) nằm trong khoảng nào?

Câu 424550: Đường cong \(y = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2}\) có ba điểm cực trị lập thành 3 đỉnh của một tam giác vuông. Giá trị tham số \(m\) nằm trong khoảng nào?

A. \(\left( {0;1} \right)\)

B. \(\left( { - 1;2} \right)\)

C. \(\left( {4;5} \right)\)

D. \(\left( {2;3} \right)\)

Câu hỏi : 424550

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị (Phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt).

- Xác định tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số (\(A \in Oy\)).

- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\).

Đáp án : B
(17) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+ \(y' = 4{x^3} - 4\left( {m + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow 4x\left[ {x - \left( {m + 1} \right)} \right] = 0\).

+ Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1\).

+ Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: \(A\left( {0;{m^2}} \right)\); \(B\left( { - \sqrt {m + 1} ; - 2m - 1} \right)\); \(C\left( {\sqrt {m + 1} ; - 2m - 1} \right)\).

+ Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nên nếu tam giác \(ABC\) vuông thì sẽ vuông cân tại \(A\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - \sqrt {m + 1} ; - {m^2} - 2m - 1} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {\sqrt {m + 1} ; - {m^2} - 2m - 1} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\ \Leftrightarrow - \left( {m + 1} \right) + {\left( {m + 1} \right)^4} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 0\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 0 \in \left( { - 1;2} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.