Đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2\) có ba điểm cực trị \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho đường tròn ngoại

Câu hỏi số 424561:

Vận dụng cao

Đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2\) có ba điểm cực trị \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) đi qua điểm \(D\left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{9}{5}} \right)\) khi \(m \in \left\{ {a;b} \right\}\), \(a > b\). Giá trị của biểu thức \(6{a^2} + 9{b^2}\) gần với giá trị nào?

A. \(9,43\)

B. \(10,51\)

C. \(8,24\)

D. \(6,79\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:424561

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị (Phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt).

- Xác định tọa độ các điểm cực trị \(A,\,\,B,\,\,C\) của đồ thị hàm số \(\left( {A \in Oy} \right)\).

- Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nhận \(Oy\) là trục đối xứng \( \Rightarrow I \in Oy\), với \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\), gọi \(I\left( {0;a} \right)\).

- Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = ID\end{array} \right.\) tìm \(m\).

Giải chi tiết

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+ \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0\).

+ Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow m > 0\).

+ Tọa độ các điểm cực trị của hàm số: \(A\left( {0;2} \right)\), \(B\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 2} \right)\), \(C\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 2} \right)\).

+ Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nhận \(Oy\) là trục đối xứng \( \Rightarrow I \in Oy\) \( \Rightarrow \) gọi \(I\left( {0;a} \right)\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} = m + {\left( {a + {m^2} - 2} \right)^2}\,\,\,\left( 1 \right)\\{\left( {a - 2} \right)^2} = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {a - \dfrac{9}{5}} \right)^2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = \dfrac{9}{{25}} + {a^2} - \dfrac{{18}}{5}a + \dfrac{{81}}{{25}}\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \dfrac{2}{5}a - \dfrac{2}{5} = 0 \Leftrightarrow a = 1\end{array}\)

Thay vào (1) ta có;

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,1 = m + {\left( {{m^2} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 1 = m + {m^4} - 2{m^2} + 1\\ \Leftrightarrow {m^4} - 2{m^2} + m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 2m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\{m^3} - 2m + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} + m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow m \in \left\{ {1;\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}\end{array}\)

\( \Rightarrow a = 1,\,\,b = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).

Vậy \(6{a^2} + 9{b^2} \approx 9,43\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.