Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện: a2 + 3b2 – ab ≤ 2 và b ≠ 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + ab + 2b2 .

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 42502:

Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện: a² + 3b² – ab ≤ 2 và b ≠ 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a²+ ab + 2b².

A. Min P = $\frac{2(11+2\sqrt{11})}{11}$

B. Min P = $\frac{2(11-2\sqrt{11})}{11}$

C. Min P = $\frac{-2(11+2\sqrt{11})}{11}$

D. Min P = $\frac{-2(11-2\sqrt{11})}{11}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42502

Giải chi tiết

Vì 2 ≥ a² + 3b² – ab = $(a-\frac{1}{2}b)^{2}$ + $\frac{11}{4}$ b² > 0, ∀a, b ∈ R, b ≠ 0

và a²+ ab + 2b² = $(a+\frac{1}{2}b)^{2}$ + $\frac{7}{4}$ b² > 0, ∀a, b ∈ R, b ≠ 0

Nên P = a²+ ab + 2b² = $\frac{(a^{2}+ab+2b^{2})(a^{2}+3b^{2}-ab)}{a^{2}+3b^{2}-ab}$ ≤ $\frac{2(a^{2}+ab+2b^{2})}{a^{2}+3b^{2}-ab}$

Đặt t = $\frac{a}{b}$ . Khi đó P ≤ $\frac{2(t^{2}+t+2)}{t^{2}-t+3}$ , t ∈ R

Xét hàm số f(t) = $\frac{2(t^{2}+t+2)}{t^{2}-t+3}$

ta có f'(t) = $\frac{2(-2t^{2}+2t+5)}{(t^{2}-t+3)^{2}}$ ; f'(t) = 0 ⇔ t = $\frac{1\pm \sqrt{11}}{2}$ .

Bảng biến thiên

Do đó, P ≤ f(t) ≤ $\frac{2(11+2\sqrt{11})}{11}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix} a^{2} +3b^{2}-ab=2& & \\ a=\frac{1+\sqrt{11}}{2}b & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} a=-\frac{11+\sqrt{11}}{11} & & \\ b=-\frac{2\sqrt{11}}{11} & & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} a=\frac{11+\sqrt{11}}{11} & & \\ b=\frac{2\sqrt{11}}{11} & & \end{matrix}\right.$

Vậy min P = $\frac{2(11+2\sqrt{11})}{11}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.