Cho hàm số y = (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) (HS tự làm). 2. Tìm m để đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị sao cho độ dài đoạn thẳng đó là ngắn nhất.

Câu hỏi số 42533:

Cho hàm số y = $\frac{3x - 1}{2x + 1}$ (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) (HS tự làm).

2. Tìm m để đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị sao cho độ dài đoạn thẳng đó là ngắn nhất.

A. m = 1

B. m = 2

C. m = 3

D. m = 4

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42533

Giải chi tiết

1. Tập xác định: D = R /{- $\frac{1}{2}$ }

Chiều biến thiên

y' = $\frac{5}{(2x + 1)^2}$ > 0 ∀ x ≠ - $\frac{1}{2}$

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; - $\frac{1}{2}$ ) và (- $\frac{1}{2}$ ; +∞)

Hàm số không có cực trị

$\lim_{x \rightarrow -\infty }$ y = $\frac{3}{2}$ , $\lim_{x \rightarrow +\infty }$ y = $\frac{3}{2}$

$\lim_{x \rightarrow (-\frac{1}{2})^+ }$ y = -∞ ; $\lim_{x \rightarrow (-\frac{1}{2})^- }$ y = +∞

Đồ thị có tiệm cận ngang y = $\frac{3}{2}$ , tiệm cận đứng x = - $\frac{1}{2}$

Bảng biến thiên:

Đồ thị: Giao với Ox tại A( $\frac{1}3{}$ ; 0), với Oy tại B(0; -1).

Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

2. Phương trình hoành độ giao điểm

$\frac{3x - 1}{2x + 1}$ = -x + m <=> $\left\{\begin{matrix} f(x) = 2x^2 - 2(m -2)x - m- 1 = 0 & \\ x \neq -\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$

Số giao điểm của (d) và (C) chính là số nghiệm của phương trình (1)

(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt <=> (1) có 2 nghiệm pb khác -1/2

<=> ∆ = m² - 2m + 6 > 0 ∀m và f(- $\frac{1}{2}$ ) = - $\frac{5}{2}$ ≠ 0 nên đường thẳng

y = -x + m luôn cắt (1) tại 2 điểm phân biệt A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂).

Áp dụng định lí Viet ta có A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị <=>

(2x₁ + 1)(2x₂ + 1) = 4x₁x₂+ 2(x₁ + x₂) + 1 = -5 < 0(lđ)

nên A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị (1) và y₁ = - x₁ + m, y₂ = - x₂ + m

=> y₁ - y₂ = - (x₁ - x₂)

Ta được

AB² = 2(x₁ - x₂)² = 2[ (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂] = 2(m – 1)² + 10 ≥ 10

Vậy AB nhỏ nhất bằng √10 đạt được khi m = 1.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.