Cho hàm số \(y = \dfrac{{ - {x^2} + 3x + m}}{{x - 4}}\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ

Câu hỏi số 425529:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{ - {x^2} + 3x + m}}{{x - 4}}\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn \(\left| {{y_{CD}} - {y_{CT}}} \right| = 4\).

A. \(m = - 2\)

B. \(m = 2\)

C. \(m = 3\)

D. \(m = - 3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425529

Phương pháp giải

+ Tìm TXĐ của hàm số.

+ Tìm điều kiện để phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐKXĐ.

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

+ Sử dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{ - {x^2} + 3x + m}}{{x - 4}}\\y' = \dfrac{{\left( { - 2x + 3} \right)\left( {x - 4} \right) - \left( { - {x^2} + 3x + m} \right)}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{ - {x^2} + 8x - 12 - m}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}\end{array}\)

+ Hàm số có 2 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(g\left( x \right) = - {x^2} + 8x - m - 12 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 4.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 16 - m - 12 > 0\\ - 16 + 32 - m - 12 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 4 > 0\\ - m + 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 4\).

Khi đó phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: \(y = \dfrac{{ - 2x + 3}}{1} = - 2x + 3\).

+ \(\left| {{y_{CD}} - {y_{CT}}} \right| = \left| { - 2{x_1} + 3 + 2{x_2} - 3} \right| = 2\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\).

Theo định lí Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 8\\{x_1}{x_2} = m + 12\end{array} \right.\).

Theo đê bài:

\(\begin{array}{l}\left| {{y_{CD}} - {y_{CT}}} \right| = 2\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\\ \Leftrightarrow 64 - 4\left( {m + 12} \right) = 4 \Leftrightarrow m = 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = 3\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.