Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - \left( {m + 1} \right)x - {m^2} + 4m - 2}}{{x - 1}}\) có hai điểm cực trị thỏa mãn tích giá trị cực đại và cực tiểu đạt GTNN.

Câu 425537: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - \left( {m + 1} \right)x - {m^2} + 4m - 2}}{{x - 1}}\) có hai điểm cực trị thỏa mãn tích giá trị cực đại và cực tiểu đạt GTNN.

A. \(m = 2\)

B. \(m = \dfrac{7}{5}\)

C. \(m = \dfrac{9}{5}\)

D. \(m = 1\)

Câu hỏi : 425537

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+ Tìm TXĐ của hàm số.

+ Tìm điều kiện để phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐKXĐ.

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.

+ Sử dụng định lí Vi-ét tính \({y_{CD}}.{y_{CT}}\) theo \(m\) và tìm GTNN.

Đáp án : B
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^2} - \left( {m + 1} \right)x - {m^2} + 4m - 2}}{{x - 1}}\\y' = \dfrac{{\left( {2x - m - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} + \left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 4m + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} - 2x + {m^2} - 3m + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

+ Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \( \Rightarrow \) Phương trình \(g\left( x \right) = {x^2} - 2x + {m^2} - 3m + 3 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 1 - {m^2} + 3m - 3 > 0\\1 - 2 + {m^2} - 3m + 3 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 3m - 2 > 0\\{m^2} - 3m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2\).

+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: \(y = 2x - m - 1\).

+ \({y_{CD}}.{y_{CT}} = \left( {2{x_1} - m - 1} \right)\left( {2{x_2} - m - 1} \right)\)

\( = 4{x_1}{x_2} - 2\left( {m + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\left( {m + 1} \right)^2}\,\,\left( * \right)\)

+ Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m + 3\end{array} \right.\).

Thay vào (*)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_{CD}}.{y_{CT}} = 4\left( {{m^2} - 3m + 3} \right) - 4\left( {m + 1} \right) + {\left( {m + 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{m^2} - 12m + 12 - 4m - 4 + {m^2} + 2m + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 5{m^2} - 14m + 9\end{array}\)

\( \Rightarrow {y_{CD}}.{y_{CT}}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(m = \dfrac{7}{5}\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(\min {y_{CD}}.{y_{CT}} = - \dfrac{4}{5}\) khi \(m = \dfrac{7}{5}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.