Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), thỏa mãn điều kiện \(AB = BC
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), thỏa mãn điều kiện \(AB = BC = a\), \(AD = 2a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,\,\,CD\). Tính cosin của góc giữa \(MN\) và \(\left( {SAC} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Gắn hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm \(S,\,\,A,\,\,C,\,\,M,\,\,N\).
- Sử dụng công thức: \(\sin \left( {MN;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_{MN}}} .\overrightarrow {{n_{\left( {SAC} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{MN}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {SAC} \right)}}} } \right|}}\).
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\). Khi đó ta có:
\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;2;0} \right)\), \(C\left( {1;1;0} \right)\), \(S\left( {0;0;1} \right)\).
\(M\) là trung điểm của \(SB\) \( \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}} \right)\).
\(N\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow N\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};0} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;\dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\) \( \Rightarrow MN\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {MN} = \left( {0;3; - 1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {SA} = \left( {0;0; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {SC} = \left( {1;1; - 1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SA} ;\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\).
\( \Rightarrow \left( {SAC} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right)\).
\( \Rightarrow \sin \left( {MN;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{{\left| {0.1 + 3.\left( { - 1} \right) - 1.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).
\( \Rightarrow \cos \left( {MN;\left( {SAC} \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {55} }}{{10}}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
