Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(10\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc

Câu hỏi số 425663:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(10\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SC = 10\sqrt 5 \). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(CD\). Tính khoảng cách \(d\) giữa \(BD\) và \(MN\).

A. \(\sqrt 3 \)

B. \(2\sqrt 3 \)

C. \(\sqrt 5 \)

D. \(2\sqrt 5 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425663

Phương pháp giải

- Tính \(SA\).

- Đặt hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm.

- Sử dụng công thức: \(d\left( {BD;MN} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {MN} } \right].\overrightarrow {BN} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {MN} } \right]} \right|}}\).

Giải chi tiết

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(10\) nên \(AC = 10\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow SA = \sqrt {S{C^2} - S{A^2}} = 10\sqrt 3 \).

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có:

\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(S\left( {0;0;10\sqrt 3 } \right)\), \(M\left( {0;0;5\sqrt 3 } \right)\), \(B\left( {10;0;0} \right)\), \(C\left( {10;10;0} \right)\), \(D\left( {0;10;0} \right)\), \(N\left( {5;10;0} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {BD} = \left( { - 10;10;0} \right)\), \(\overrightarrow {MN} = \left( {5;10; - 5\sqrt 3 } \right)\), \(\overrightarrow {BN} = \left( { - 5;10;0} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( { - 50\sqrt 3 ; - 50\sqrt 3 ; - 150} \right)\).

Vậy \(d\left( {BD;MN} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {MN} } \right].\overrightarrow {BN} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {MN} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {250\sqrt 3 - 500\sqrt 3 } \right|}}{{50\sqrt {15} }} = \sqrt 5 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.