Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) cạnh đáy \(a\), mặt bên tạo với đáy góc \(\alpha \). Tìm
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) cạnh đáy \(a\), mặt bên tạo với đáy góc \(\alpha \). Tìm \(\tan \alpha \) để \(SA\) vuông góc với \(SC\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Xác định góc giữa mặt bên và cạnh đáy, từ đó tính \(SO\).
- Đặt hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm.
- Để \(SA \bot SC\) thì \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} = 0\), từ đó tính \(\tan \alpha \).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = BD = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow OA = OC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Khi đó ta có: \(A\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right);\,\,C\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right)\), \(B\left( {0;\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\).
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow OE \bot AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow AB \bot SE\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SE \subset \left( {SAB} \right);\,\,SE \bot AB\\OE \subset \left( {ABCD} \right);\,\,OE \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SE;OE} \right) = \angle SEO = \alpha \).
Xét tam giác vuông \(SOE\) ta có: \(SO = OE.\tan \alpha = \dfrac{a}{2}\tan \alpha \).
\( \Rightarrow S\left( {0;0;\dfrac{{\tan \alpha }}{2}} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {SA} = \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};0; - \dfrac{{\tan \alpha }}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {SB} = \left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2};0; - \dfrac{{\tan \alpha }}{2}} \right)\).
Để \(SA \bot SC\) thì \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}{\tan ^2}\alpha = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{4}\left( {{{\tan }^2}\alpha - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \tan \alpha = \sqrt 2 \\\left( {Do\,\,0 < \alpha \le {{90}^0} \Rightarrow \tan \alpha > 0} \right)\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
