Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông \(\left( {\angle A = \angle D = {{90}^0}} \right)\), \(AD =

Câu hỏi số 425738:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông \(\left( {\angle A = \angle D = {{90}^0}} \right)\), \(AD = DC = 2a\), \(AB = a\). \(SA\) vuông góc vuông góc với mặt phẳng đáy đồng thời \(SB\) tạo với đáy một góc \({60^0}\). Tính góc giữa hai thẳng \(SB\) và \(DC\).

A. \({60^0}\)

B. \({90^0}\)

C. \({30^0}\)

D. \({45^0}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425738

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa \(SB\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SB\) và hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Đặt hệ trục tọa độ \(D \equiv O\), xác định tọa độ các điểm.

- Sử dụng công thức \(\cos \alpha = \cos \left( {SB;DC} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {DC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DC} } \right|}}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow AB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA = {60^0}\).

\( \Rightarrow SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: \(D\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {0;2a;0} \right)\), \(B\left( {2a;2a;0} \right)\), \(C\left( {2a;0;0} \right)\), \(S\left( {0;2a;a\sqrt 3 } \right)\).

Ta có:

\(\overrightarrow {SB} = \left( {2a;0; - a\sqrt 3 } \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {2a;0;0} \right)\).

Đặt \(\cos \alpha = \cos \left( {SB;DC} \right)\) ta có:

\(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {DC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DC} } \right|}} = \dfrac{{\left| {2{a^2}} \right|}}{{\sqrt {4{a^2}} .\sqrt {4{a^2}} }} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \alpha = {60^0}\).

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(DC\) bằng \({60^0}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.