Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông \(\left( {\angle A = \angle D = {{90}^0}} \right)\), \(AD = DC = 2a\), \(AB = a\). \(SA\) vuông góc vuông góc với mặt phẳng đáy đồng thời \(SB\) tạo với đáy một góc \({60^0}\). Tính góc giữa hai thẳng \(SB\) và \(DC\).
Câu 425738: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông \(\left( {\angle A = \angle D = {{90}^0}} \right)\), \(AD = DC = 2a\), \(AB = a\). \(SA\) vuông góc vuông góc với mặt phẳng đáy đồng thời \(SB\) tạo với đáy một góc \({60^0}\). Tính góc giữa hai thẳng \(SB\) và \(DC\).
A. \({60^0}\)
B. \({90^0}\)
C. \({30^0}\)
D. \({45^0}\)
- Xác định góc giữa \(SB\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SB\) và hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).
- Đặt hệ trục tọa độ \(D \equiv O\), xác định tọa độ các điểm.
- Sử dụng công thức \(\cos \alpha = \cos \left( {SB;DC} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {DC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DC} } \right|}}\).
-
Đáp án : A(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow AB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA = {60^0}\).
\( \Rightarrow SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: \(D\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {0;2a;0} \right)\), \(B\left( {2a;2a;0} \right)\), \(C\left( {2a;0;0} \right)\), \(S\left( {0;2a;a\sqrt 3 } \right)\).
Ta có:
\(\overrightarrow {SB} = \left( {2a;0; - a\sqrt 3 } \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {2a;0;0} \right)\).
Đặt \(\cos \alpha = \cos \left( {SB;DC} \right)\) ta có:
\(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {DC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DC} } \right|}} = \dfrac{{\left| {2{a^2}} \right|}}{{\sqrt {4{a^2}} .\sqrt {4{a^2}} }} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \alpha = {60^0}\).
Vậy góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(DC\) bằng \({60^0}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com