Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(4a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy,
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(4a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có một cạnh vuông góc với đáy:
\(R = \sqrt {\dfrac{{{h^2}}}{4} + {r^2}} \) (với \(h\) là độ dài đường cao, \(r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy)
Ta có tâm của đáy cũng là giao điểm ba đường cao (ba đường trung tuyến) của tam giác đều \(ABC\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là \(r = 4a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{4\sqrt 3 a}}{3}\).
Đường cao \(AH\) của tam giác đều \(ABC\) là \(AH = \dfrac{{4a.\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 a\).
Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \) suy ra \(\widehat {SHA} = 60^\circ \).
Suy ra \(\tan SHA = \dfrac{{SA}}{{AH}} = \dfrac{{SA}}{{2\sqrt 3 a}} = \sqrt 3 \Rightarrow SA = 6a\).
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp \({R_{mc}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{SA}}{2}} \right)}^2} + {r^2}} = \sqrt {9{a^2} + \dfrac{{16}}{3}{a^2}} = \dfrac{{\sqrt {129} }}{3}a\).
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp \(S.ABC\) là \({S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{\sqrt {129} }}{3}a} \right)^2} = \dfrac{{172\pi {a^2}}}{3}\).
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
