Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CC'\) (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
So sánh \(d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right)\) với \(d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right)\) và \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\).
Dựng \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\) và tính \(AH\). Từ đó suy ra kết luận.
Ta có: \(C'M \cap \left( {A'BC} \right) = \left\{ C \right\}\) nên \(\dfrac{{d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \dfrac{{MC}}{{C'C}} = \dfrac{1}{2}\)
Lại có \(AC' \cap \left( {A'BC} \right) = I\) là trung điểm của \(AC'\) nên:
\(\dfrac{{d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \dfrac{{C'I}}{{AI}} = 1\) \( \Rightarrow d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\)
Gọi N là trung điểm của BC thì \(AN \bot BC\).
Mà \(BC \bot A'A\) nên \(BC \bot \left( {A'AN} \right)\)
Kẻ \(AH \bot A'N\).
Do \(BC \bot \left( {A'AN} \right)\) nên \(BC \bot AH\).
Vậy \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\).
Ta có: \(AN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},A'A = a\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A'{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{N^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{7}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow A{H^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{7} \Rightarrow AH = \dfrac{{\sqrt {21} a}}{7}\)
\( \Rightarrow d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{\sqrt {21} a}}{{14}}\).
Cách khác:
\(C'M \cap \left( {A'BC} \right) = C\), suy ra \(\dfrac{{d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \dfrac{{C'M}}{{C'C}} = \dfrac{1}{2}\).
Ta có \({V_{C'.A'BC}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}.C'C.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Lại có \(A'B = a\sqrt 2 \), \(CB = a\), \(A'C = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow {S_{A'BC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}\).
Suy ra \(d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{C'.A'BC}}}}{{{S_{\Delta A'BC}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Vậy \(d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {21} }}{7} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
