Cho hàm số bậc bốn \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Số điểm cực trị của hàm
Cho hàm số bậc bốn \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = {x^4}{\left[ {f\left( {x + 1} \right)} \right]^2}\) là
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Do hàm \(f\left( x \right)\) là tổng quát nên nhìn BBT ta thấy có thể chọn hàm có dạng \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\)
Ta có : \(f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx\)
\(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 0\\f\left( 1 \right) = - 2\\f\left( 0 \right) = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = 4a + 2b\\a + b + c = - 2\\c = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = - 10\\c = 3\end{array} \right.\)
Ta chọn hàm \(f\left( x \right) = 5{x^4} - 10{x^2} + 3\).
Đạo hàm
\(g'\left( x \right) = 4{x^3}{\left[ {f\left( {x + 1} \right)} \right]^2} + 2{x^4}f\left( {x + 1} \right)f'\left( {x + 1} \right)\)\( = 2{x^3}f\left( {x + 1} \right)\left[ {2f\left( {x + 1} \right) + xf'\left( {x + 1} \right)} \right]\)
Ta có \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^3}f\left( {x + 1} \right) = 0\\2f\left( {x + 1} \right) + xf'\left( {x + 1} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f\left( {x + 1} \right) = 0\\2f\left( {x + 1} \right) + xf'\left( {x + 1} \right) = 0\end{array} \right.\)
+) \(f\left( {x + 1} \right) = 0\)\(\left( * \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(5{\left( {x + 1} \right)^4} - 10{\left( {x + 1} \right)^2} + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} = \dfrac{{5 + \sqrt {10} }}{5}\\{\left( {x + 1} \right)^2} = \dfrac{{5 - \sqrt {10} }}{5}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \pm \sqrt {\dfrac{{5 + \sqrt {10} }}{5}} \\x = - 1 \pm \sqrt {\dfrac{{5 - \sqrt {10} }}{5}} \end{array} \right.\)
Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khác \(0\).
+) \(2f\left( {x + 1} \right) + xf'\left( {x + 1} \right) = 0\) (**)
Đặt \(t = x + 1\) ta được \(2\left( {5{t^4} - 10{t^2} + 3} \right) + \left( {t - 1} \right)\left( {20{t^3} - 20t} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 30{t^4} - 20{t^3} - 40{t^2} + 20t + 6 = 0\)
Xét hàm \(h\left( t \right) = 30{t^4} - 20{t^3} - 40{t^2} + 20t + 6\) có:
\(\begin{array}{l}h'\left( t \right) = 120{t^3} - 60{t^2} - 80t + 20\\h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 20\left( {t - 1} \right)\left( {6{t^2} + 3t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {33} }}{{12}}\\t = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {33} }}{{12}}\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có BBT:
ở đó \({t_1} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {33} }}{{12}},{t_2} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {33} }}{{12}}\) và \(h\left( {{t_1}} \right) \approx - 13,62;\,\,h\left( {{t_2}} \right) \approx 8,32\)
Nên phương trình \(h\left( t \right) = 0\) có \(4\) nghiệm phân biệt.
Với \(x \in \left\{ { - 1 \pm \sqrt {\dfrac{{5 + \sqrt {10} }}{5}} ; - 1 \pm \sqrt {\dfrac{{5 - \sqrt {10} }}{5}} } \right\}\) thì \(x + 1 \in \left\{ { \pm \sqrt {\dfrac{{5 + \sqrt {10} }}{5}} ; \pm \sqrt {\dfrac{{5 - \sqrt {10} }}{5}} } \right\}\) hay \(t \in \left\{ { \pm \sqrt {\dfrac{{5 + \sqrt {10} }}{5}} ; \pm \sqrt {\dfrac{{5 - \sqrt {10} }}{5}} } \right\}\)
Thay các giá trị của \(t\) này vào ta thấy \(h\left( t \right) \ne 0\).
Do đó \(4\) nghiệm của phương trình (**) khác với 4 nghiệm của (*).
Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác \(0\) và khác các nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\).
Vậy số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)\) là \(9\).
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
