Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(2a\)

Câu hỏi số 426646:

Vận dụng cao

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(2a\) và \(O\) là tâm của đáy. Gọi \(M\),\(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là các điểm đối xứng với \(O\) qua trọng tâm của các tam giác \(SAB\), \(SBC\), \(SCD\), \(SDA\) và \(S'\) là điểm đối xứng với \(S\) qua \(O\). Thể tích của khối chóp \(S'.MNPQ\) bằng

A. \(\dfrac{{20\sqrt {14} {a^3}}}{{81}}\).

B. \(\dfrac{{40\sqrt {14} {a^3}}}{{81}}\).

C. \(\dfrac{{10\sqrt {14} {a^3}}}{{81}}\).

D. \(\dfrac{{2\sqrt {14} {a^3}}}{9}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:426646

Phương pháp giải

Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.

Giải chi tiết

Gọi \({G_1},{G_2},{G_3},{G_4}\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta SAB,\Delta SBC,\Delta SCD,\Delta SDA\).

\(E,F,G,H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CD,DA\).

Ta có \({S_{MNPQ}} = 4{S_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} = 4.\dfrac{4}{9}{S_{EFGH}}\)

\( = 4.\dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{2}EG.HF = \dfrac{{8{a^2}}}{9}\)

\(\begin{array}{l}d\left( {S',\left( {MNPQ} \right)} \right) = S'O + d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = SO + 2d\left( {O,\left( {{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}} \right)} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = SO + 2.\dfrac{1}{3}SO\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{5}{3}SO\end{array}\)

Mà \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {14} a}}{2}\)

\( \Rightarrow d\left( {S',\left( {MNPQ} \right)} \right) = \dfrac{5}{3}.\dfrac{{\sqrt {14} a}}{2} = \dfrac{{5\sqrt {14} a}}{6}\)

Vậy \({V_{S'.MNPQ}} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{5\sqrt {14} a}}{6} \cdot \dfrac{{8{a^2}}}{9} = \dfrac{{20{a^3}\sqrt {14} }}{{81}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.